| Περίληψη |
Στην εργασία αυτή αποδεικνύουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος για τις γραμμικοποιημένες, δυναμικές εξισώσεις των Navier-Stokes, δηλαδή τις δυναμικές, ασυμπίεστες, εξισώσεις Stokes, οι οποίες μοντελοποιούν την πολύ αργή ροή. Αρχικά θεωρούμε το ημιδιακριτό πρόβλημα στο χώρο και, χρησιμοποιώντας έναν κατάλληλο τελεστή ανακατασκευής Stokes, παράγουμε μια βοηθητική εξίσωση σφάλματος που ικανοποιεί ακριβώς τη συνθήκη ασυμπιεστότητας. Έτσι, χρησιμοποιώντας συνήθη επιχειρήματα από τη θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, λαμβάνουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος που βασίζονται στους υπάρχοντες εκτιμητές του στατικού προβλήματος του Stokes. Αποδεικνύονται εκτιμήσεις σφάλματος για την ταχύτητα στις νόρμες L°°(L2) και L2(H1) για τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων και χωρίων. Επίσης, αποδεικνύουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος βέλτιστης τάξης για τη χρονική διακριτοποίηση με τη ^-κλασματική μέθοδο. Το συγκεκριμέ¬νο αριθμητικό σχήμα, χάρη στις ιδιότητες ευστάθειάς του, είναι κατάλληλο για τη χρονική διακριτοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes. Συγκεκριμένα, έχει ακρίβεια δεύτερης τάξης όπως η μέθοδος των Crank-Nicolson, αλλά επιπλέον είναι ισχυρά Α-ευσταθής σε αντίθεση με την μέθοδο Crank-Nicolson που είναι μόνο Α-ευσταθής. Εφαρμόζουμε τη ^-κλασματική μέθοδο στο γραμμικό παραβολικό πρόβλημα και στο χρονικά εξαρτώμενο πρόβλημα του Stokes με σκοπό την απόδειξη εκ των υστέρων ε¬κτιμήσεων σφάλματος βέλτιστης τάξης. Το κύριο εργαλείο της ανάλυσής μας είναι μια κατάλληλη ανακατασκευή της τμηματικά γραμμικής στο χρόνο προσεγγιστικής λύσης και η οποία αναφέρεται ως ^-κλασματική ανακατασκευή. Έπειτα, συνδυάζουμε τα α¬ποτελέσματα της χωρικής διακριτοποίησης με εκείνα της χωρικής για να αποδείξουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος βέλτιστης τάξης για πλήρως διακριτά σχήμα¬τα για το γραμμικό παραβολικό πρόβλημα και για το χρονικά εξαρτώμενο πρόβλημα του Stokes. Διακριτοποιούμε στο χρόνο με τη μέθοδο των Crank-Nicolson και τη $-κλασματική μέθοδο. Για τη χωρική διακριτοποίηση θεωρούμε χώρους πεπερασμένων στοιχείων με κατάλληλες προσεγγιστικές ιδιότητες. Με σκοπό την απόδειξη εκ των υστέρων εκτιμήσεων σφάλματος, εισάγουμε μια χωρική-χρονική ανακατασκευή της τμηματικά γραμμικής στο χρόνο προσεγγιστικής λύσης. Αυτή η ανακατασκευή
ολοκληρώνεται σε δύο βήματα: αρχικά προσαρμόζουμε τη χρονική ανακατασκευή, είτε την Crank-Nicolson είτε τη ^-κλασματική ανακατασκευή, στην πλήρως διακριτή περίπτωση και ορίζουμε μια κατά τμήματα τετραγωνική συνεχή συνάρτηση στο χρόνο. Έπειτα εισάγουμε την ανακατασκευή Stokes αυτής για να κατασκευάσουμε μια προσέγγιση συνεχή στο χρόνο και στο χώρο. Οι εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος προκύπτουν εφαρμόζοντας μεθόδους ενέργειας.
|
Εκ των Υστέρων Εκτιμήσεις Σφάλματος για τις Γραμμικοποιημένες Εξισώσεις Navier-Stokes
