Your browser does not support JavaScript!

Αρχική    Τα Θεωρήματα των Dvoretzky και Krivine  

Αποτελέσματα - Λεπτομέρειες

Προσθήκη στο καλάθι
[Προσθήκη στο καλάθι]
Κωδικός Πόρου uch.math.msc//1999chartzoulaki
Τίτλος Τα Θεωρήματα των Dvoretzky και Krivine
Άλλος τίτλος The theorems of Dvoretzky and Krivine
Συγγραφέας Χαρτζουλάκη, Μαριάννα
Περίληψη Το Θεώρημα του Dvoretzky για τις σχεδόν σφαιρικές τομές συμμετρικών κυρτών σωμάτων είναι το πρώτο ασυμπτωτικό αποτέλεσμα για χώρους πεπερασμένης διάστασης με νόρμα. Θεώρημα. Υπάρχει απόλυτη σταθερά c>0 τέτοια ώστε: για κάθε epsilon >0 και κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R^n, υπάρχουν k\geq cepsilon^2\log n, k-διάστατος υπόχωρος F του R^n και r>0, που ικανοποιούν την (1+epsilon )^{-1}rD_n\cap F\subset K\cap F\subset (1+epsilon )rD_n\cap F, όπου D_n η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα. Θα δώσουμε πλήρη απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, και θα συζητήσουμε ειδικές περιπτώσεις και επεκτάσεις του. Η μέθοδος της απόδειξης είναι πιθανοθεωρητική ([Mi], [MS]), και βασίζεται στο ((φαινόμενο της συγκέντρωσης του μέτρου)). Τελείως σχηματικά, τα βήματα είναι τα εξής: (α) Υποθέτουμε ότι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K είναι η D_n (η ύπαρξη και η μοναδικότητα ενός τέτοιου ελλειψοειδούς θα συζητηθούν στην Παράγραφο 3). Τότε, η συνάρτηση r:S^{n-1}\rightarrow R με r(x)=\| x\|_K είναι Lipschitz συνεχής με σταθερά 1. (β) Χρησιμοποιώντας την σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα, στην Παράγραφο 5 βλέπουμε ότι υπάρχει θετικός αριθμός L_r (ο μέσος \tl{L\'{e}vy} της r) με την ιδιότητα \sigma\left ( x\in S^{n-1}: |r(x)-L_r|\geq epsilon L_r\right )\leq c\exp \left (-c^{\prime }epsilon^2nL_r^2\right ). Δηλαδή, οι τιμές της r συγκεντρώνονται με την έννοια του μέτρου γύρω από τον μέσο της, όλο και πιό έντονα καθώς η διάσταση n τείνει στο άπειρο. (γ) Η συγκέντρωση αυτή του μέτρου μας επιτρέπει να βρούμε υπόχωρο F του R^n διάστασης k\geq cepsilon^2nL_r^2, τέτοιον ώστε (1+\varepsilon )^{-1}L_r\leq\| x\|_K\leq (1+epsilon )L_r για κάθε x στη μοναδιαία σφαίρα του F. (δ) Ο μέσος $L_r$ είναι, αν εξαιρέσουμε απόλυτες σταθερές, ισοδύναμος με τη μέση τιμή της r M=\int_{S^{n-1}}\| x\|_K\sigma (dx). Τέλος, το Λήμμα των Dvoretzky και Rogers μας δίνει ένα κάτω φράγμα για το M: M\geq c^{\prime\prime }\left (\frac{\log n}{n}\right )^{1/2}. Δηλαδή, k\geq epsilon^2\log n. Για κάθε n-διάστατο χώρο με νόρμα X, ορίζουμε k(X) τον μεγαλύτερο φυσικό k\leq n για τον οποίο υπάρχει k-διάστατος υπόχωρος F του X ο οποίος είναι 4-ισόμορφος με τον \ell_2^k. Η απόδειξη του Θεωρήματος του Dvoretzky μας δίνει k(X)\geq c\left (\frac{M}{b}\right )^2, όπου b=\max\{\| x\|_K:x\in S^{n-1}\}. Στην Παράγραφο 6, υπολογίζουμε την τάξη μεγέθους της παραμέτρου k(\ell_p^n), 1\leq p\leq\infty. Το παράδειγμα του κύβου (k(\ell_{\infty }^n)\simeq\log n) δείχνει ότι η εκτίμηση του Θεωρήματος είναι, σε πλήρη γενικότητα, βέλτιστη. Όταν 1\leq p\leq 2, ισχύει k(X)\simeq n: υπάρχουν Ευκλείδειες τομές της B_p^n με διάσταση ανάλογη του n. Στην Παράγραφο 7 βλέπουμε ότι κάθε σώμα που έχει μικρό λόγο όγκων έχει την ίδια ιδιότητα. Το Θεώρημα του Krivine Έστω X ένας χώρος Banach άπειρης διάστασης και έστω (x_n)_{n=1}^{\infty} μία ακολουθία γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στον X. Μία (πεπερασμένη ή άπειρη) ακολουθία (y_n)_n στον X ονομάζεται ακολουθία της (x_n)_n, αν υπάρχει ακολουθία φυσικών k_1<k_2<..., ώστε, για κάθε n, y_n=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}}a_ix_i, για κάποιους συντελεστές a_i,\; i=k_n+1,... ,k_{n+1}. Θεωρούμε τώρα δύο χώρους Banach (X,\| \cdot \| ),\; (Z,|\| \cdot |\|) και δύο ακολουθίες γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων (x_n)_{n=1}^{\infty} στον X και (z_n)_{n=1}^{\infty} στον Z. Λέμε ότι η (z_n)_n είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμη κατά block στην $(x_n)_n,$ αν, για κάθε $m \in {\mathbb N}$ και κάθε $\varepsil on >0,$ υπάρχει \tl{block} ακολουθία $(y_i)_{i=1}^m$^M της $(x_n)_n$ τέτοια ώστε^M $$(1-\varepsilon )|\| \sum_{i=1}^ma_iz_i|\| \leq \| \sum_{i=1}^ma_iy_i\|\leq (1+ \varepsilon )|\| \sum_{i=1}^ma_iz_i|\|,$$^M για κάθε ακολουθία συντελεστών $(a_i)_{i=1}^m.$^M ^M Ειδικότερα, για $1\leq p <\infty ,$ λέμε ότι ο $\ell_p$ (αντίστοιχα, ο $c_0$) εί ναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος κατά \tl{block}^M στην ακολουθία $(x_n)_n,$ αν η κανονική βάση του $\ell_p$ (αντίστοιχα, του $c_0$ ) είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμη κατά^M epsilon >0,$ ^M υπάρχει \tl{block} ακολουθία $(y_i)_{i=1}^m$^M της $(x_n)_n$ τέτοια ώστε^M $$(1-\varepsilon )\left ( \sum_{i=1}^m|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} \leq \| \sum _{i=1}^ma_iy_i\|\leq (1+epsilon )\left ( \sum_{i=1}^m|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} (αντίστοιχα, (1-epsilon )\max_{i=1,... ,m}|a_i| \leq \| \sum_{i=1}^ma_iy _i\|\leq (1+epsilon ) \max_{i=1,... ,m}|a_i|$), για κάθε ακολουθία συντελεστών (a_i)_{i=1} Το Θεώρημα του Krivine (1976) που θα παρουσιάσουμε είναι το ακόλουθο: Θεώρημα. Έστω (x_n)_{n=1}^{\infty} μία ακολουθία γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε έναν χώρο Banach X. Τότε είτε υπάρχει p,\; 1\leq p<\infty , ώστε ο ell_p να είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος κατά block στην (x_n)_n είτε ο c_0 είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος κατά block στην (x_n)_n. Το ερώτημα αν κάθε χώρος Banach άπειρης διάστασης περιέχει έναν υπόχωρο ισόμορφο με κάποιον ell_p, 1\leq p<\infty , ή με τον c_0, ήταν ένα από τα κεντρικά προβλήματα της θεωρίας χώρων Banach ως τις αρχές της δεκαετίας του 70. Αν ο X είναι χώρος Banach με βάση Schauder (x_n)_n και υπάρχει υπόχωρος του X ισόμορφος με τον ell_p, για κάποιο p\in [1, \infty) (αντίστοιχα, με τον c_0,), τότε είναι γνωστό ότι υπάρχει άπειρη block ακολουθία (y_n)_{n=1}^{\infty} της (x_n)_n που είναι ισοδύναμη με την κανονική βάση του ell_p (αντίστοιχα, του c_0.) Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν σταθερές C, c>0, ώστε, για κάθε n in N και κάθε ακολουθία συντελεστών (a_i)_{i=1}^n, να ισχύει c\left ( \sum_{i=1}^n|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} \leq \| \sum_{i=1}^na_iy_i\|\leq C\left ( \sum_{i=1}^n|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} (αντίστοιχα, c\max_{i=1,... ,n}|a_i| \leq \| \sum_{i=1}^na_iy_i\|\leq C\max_{i=1,\ldots ,n}|a_i|). Με βάση αυτό, το προηγούμενο ερώτημα μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: Έστω X χώρος Banach με βάση Schauder (x_n)_n. Υπάρχει πάντα μία άπειρη block ακολουθία (y_n)_n της (x_n)_n που είτε είναι ισοδύναμη με τη βάση του ell_p, για κάποιο p\in [1,\infty ), είτε είναι ισοδύναμη με τη βάση του c_0; Το παράδειγμα του Tsirelson (1974) έδωσε αρνητική απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Το θεώρημα του Krivine μπορεί να θεωρηθεί σαν το καλύτερο δυνατό θετικό αποτέλεσμα σε αυτήν την κατεύθυνση.
Ημερομηνία έκδοσης 1999-11-01
Ημερομηνία διάθεσης 2000-02-07
Συλλογή   Σχολή/Τμήμα--Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών--Τμήμα Μαθηματικών--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης
  Τύπος Εργασίας--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης
Εμφανίσεις 33

Ψηφιακά τεκμήρια
No preview available

Προβολή Εγγράφου
Εμφανίσεις : 6

No preview available

Προβολή Εγγράφου