Your browser does not support JavaScript!

Αρχική    Ασθενείς λύσεις για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους και εφαρμογές - τρισδιάστατη αναδόμηση εικόνας  

Αποτελέσματα - Λεπτομέρειες

Προσθήκη στο καλάθι
[Προσθήκη στο καλάθι]
Κωδικός Πόρου 000362967
Τίτλος Ασθενείς λύσεις για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους και εφαρμογές - τρισδιάστατη αναδόμηση εικόνας
Άλλος τίτλος Viscosity solutions for nonlinear partial differential equations and applications - three dimensional image reconstruction
Συγγραφέας Ζωχιός, Χρήστος Ευάγγελου
Σύμβουλος διατριβής Κοσιώρης, Γεώργιος
Περίληψη Οι λύσεις ιξώδους είναι μία κατηγορία γενικευμένων λύσεων για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Η μεγάλη αξία αυτού του είδους των ασθενών λύσεων φαίνεται από το ότι για αυτές υπάρχουν πολύ γενικά αποτελέσματα ύπαρξης, μοναδικότητας και ευστάθειας σε πολλά προ-βλήματα που προκύπτουν σε διαφορετικά πεδία εφαρμογών. Οι λύσεις ιξώ-δους χρησιμοποιούνται σε πολλά είδη εφαρμογών, δύο από τα οποία αναλύ-ονται σε αυτήν τη διατριβή. Το Πρόβλημα της Ρηχής Λίμνης (the Shallow Lake Problem), ένα πρό-βλημα βέλτιστου ελέγχου που δεν ανήκει στα κλασικά και προκύπτει από τον συνδυασμό των χρήσεων μίας ρηχής λίμνης για αγροτικές δραστηριότητες αλλά και για οικολογικούς λόγους, είναι η πρώτη από τις εφαρμογές που μελε-τάμε. Αρχικά μελετούνται τα βέλτιστα δυναμικά του προβλήματος, για τα ο-ποία η Αρχή Μεγίστου του Pontryagin παρέχει κάποιες αναγκαίες συνθήκες, για ένα διάστημα τιμών του παράγοντα έκπτωσης. Επίσης ερευνάται ο αριθ-μός και το είδος των σημείων ισορροπίας. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση αξίας του Προβλήματος της Ρηχής Λίμνης είναι λύση ιξώδους μίας Βέλτιστης Hamilton-Jacobi-Bellman (OHJB) εξίσωσης, ένα βασικό αποτέλε-σμα για την υπόλοιπη εργασία. Για να προκύψει αυτό, μελετάμε το πρόβλημα ελέγχου σε ένα συμπαγές χώρο ελέγχων και αποδεικνύουμε ιδιότητες της α-ντίστοιχης συνάρτησης αξίας ως λύση ιξώδους μιας παραλλαγμένης HJB εξί-σωσης, οι οποίες σχετίζονται με μονοτονία, ημικυρτότητα, καθώς και με το υποδιαφορικό αυτής. Στη συνέχεια εξάγουμε αρκετά αποτελέσματα ομαλότη-τας για την αρχική συνάρτηση αξίας (ευημερίας), με χρήση αυτού του αποτε-λέσματος. Επίσης παρουσιάζουμε τρία διαφορετικά αριθμητικά σχήματα, το "προς τα εμπρός", το "προς τα πίσω" και το "προσήνεμο", για την προσέγγιση της λύσης ιξώδους, στα οποία γίνεται χρήση πεπερασμένων δια-φορών για την προσέγγιση των χωρικών παραγώγων. Η σύγκλισή τους απο-δεικνύεται με χρήση προτάσεων σταθερών σημείων. Για την πιστοποίηση των αριθμητικών αποτελεσμάτων, τα συγκρίνουμε με τα αποτελέσματα που προ-κύπτουν από τη λεγόμενη Μέθοδο Απλής Στόχευσης (Simple Shooting Method), την οποία χρησιμοποιούμε ως το "χρυσό δεδομένο". Το μικρό μέσο σχετικό σφάλμα για όλες τις περιπτώσεις (διαφορετικός αριθμός σαγμα-τικών σημείων, διαφορετικό χωρικό βήμα) αποδεικνύει την ακρίβεια των αριθ-μητικών προσεγγίσεων. Η δεύτερη εφαρμογή που αναλύουμε σχετίζεται με την γεωμετρική ανα-παράσταση του Ανευρύσματος Κοιλιακής Αορτής (ΑΚΑ), μιας τοπικής διαστο-λής του τοιχώματος της αορτής. Μια αξιόπιστη εκτίμηση του κινδύνου ρήξης ενός ΑΚΑ απαιτεί ακριβείς μετρήσεις των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του. Επομένως, ο βασικός στόχος της μελέτης αυτής της εφαρμογής είναι η εξαγωγή των συνόρων θρόμβου και εξωτερικού τοιχώματος από εγκάρσιες τομές ενός τρισδιάστατου πακέτου εικόνων-δεδομένων του ΑΚΑ (αξονικές τομογρα-φίες -αγγειογραφίες, καλούμενες CTA στη διεθνή βιβλιογραφία), με χρήση Μεθόδων Συνόλου Στάθμης (ΜΣΣ, καλούμενες Level Set Methods στη διεθνή βιβλιογραφία) και νέων γεωμετρικών μεθόδων για την αντιμετώπιση του βασι-κού προβλήματος της μη ύπαρξης κατάλληλης αντίθεσης στη φωτεινότητα με-ταξύ του θρόμβου και του περιβάλλοντα ιστού. Εργαλεία όπως η απεικόνιση αντιστροφής και η κυρτή θήκη μίας κλειστής καμπύλης χρησιμοποιούνται για τον εντοπισμό και την ανακατασκευή αυτών των συνόρων, εκμεταλλευόμενοι την ύπαρξη ασβεστώσεων, οι οποίες εντοπίζονται συνδυάζοντας αυτά τα ερ-γαλεία με μία τεχνική οριοθέτησης της έντασης της εικόνας (thresholding). Ε-πίσης, παρουσιάζουμε τρία νέα κριτήρια διακοπής για την αντιμετώπιση των προβλημάτων διαρροής που παρουσιάζουν οι ΜΣΣ και μία μέθοδο για τον εντοπισμό των περιοχών διαρροής. Η Μέθοδος Ταχείας Ανάπτυξης (ΜΤΑ, καλούμενη Fast Marching Method στη διεθνή βιβλιογραφία) χρησιμοποιείται αρχικά για την επίλυση ενός άλλου προβλήματος της ΜΣΣ, της σχετικά μικρής ταχύτητας, με κατάλληλες τροποποιήσεις για την περίπτωση δύσκολων στην κατάτμηση εικόνων. Σε περιοχές με λίγες ή καθόλου ασβεστώσεις προτείνου-με μία τεχνική παρεμβολής αποστάσεων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να πάρουμε τα δύο σύνορα, αν κρίνεται απαραίτητο. Στη συνέχεια κατασκευάσαμε και παρουσιάζουμε κάποιες τεχνητές εικό-νες που εξομοιώνουν τις πραγματικές περιπτώσεις με σκοπό την εξέταση της ευελιξίας των μεθόδων. Επίσης αναλύεται η ευαισθησία των μεθόδων στις αλλαγές των τιμών των παραμέτρων, καθώς και η αναπαραγωγιμότητά τους, ενώ παρουσιάζεται και ο χρόνος κατάτμησης. Έχοντας ως στόχο την σύγκρι-ση με τα αποτελέσματά μας, ειδικός αγγειοχειρούργος πραγματοποίησε χει-ροκίνητες κατατμήσεις στις τομές πακέτων δεδομένων δέκα ασθενών (450 τομές). Για την εκτίμηση του σφάλματος στην κατάτμηση του εξωτερικού τοιχώματος χρησιμοποιήσαμε διάφορες ποσότητες, τρεις από τις οποίες είναι η μέση απόσταση, η περιοχή επικάλυψης και το σχετικό σφάλμα του όγκου. Για την πιστοποίηση των αποτελεσμάτων για τον θρόμβο, δημιουργήθηκε μία μέ-θοδος που προσεγγίζει το μέσο πάχος του τοιχώματος ενός ΑΚΑ, στην οποία γίνεται χρήση ενός άλλου εργαλείου, της διαίρεσης μίας καμπύλης σε τομείς με χρήση του κέντρου βάρους της. Τα αποτελέσματά μας για το εξωτερικό τοίχωμα και για το μέσο πάχος τοιχώματος είναι συγκρίσιμα με προηγούμενες τιμές που έχουν αναφερθεί στη σχετική βιβλιογραφία, στην οποία, όμως, δεν έχει παρατηρηθεί πουθενά κατά-τμηση του συνόρου του θρόμβου, τουλάχιστον όχι με χρήση των ΜΣΣ. Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι γεωμετρικά ακριβείς τρισδιάστατες αναδο-μήσεις της ανατομίας ενός ΑΚΑ μπορούν να παραχθούν μέσω μεθόδων κατά-τμησης βασισμένων στις ΜΣΣ, πάνω σε ιατρικές εικόνες που προέρχονται από την διαθέσιμη τεχνολογία παραγωγής τους. Αυτή η πληροφορία της γεω-μετρίας είναι πολύ σημαντική για την τελική επίτευξη ενός αξιόπιστου, προ-σαρμοσμένου στον ασθενή, μέτρου του κινδύνου ρήξης ενός ΑΚΑ.
Φυσική περιγραφή xiv, 105 σ. : εικ. ; 30 εκ.
Γλώσσα Αγγλικά
Θέμα Abdominal Aortic Aneurysm
Calcifications
Hamilton- Jacobi-Bellman (HJB) equation
Image segmentation
Level Set Method
Optimal control
Shallow Lake Problem
Skiba point
Viscosity solution
Ανεύρυσμα Κοιλιακής Αορτής
Ασβεστώσεις
Βέλτιστος έλεγχος
Εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
Κατάτμηση εικόνας
Λύση ιξώδους
Μέθοδος Συνόλου Στάθμης
Πρόβλημα Ρηχής Λίμνης
Σημείο Skiba
Ημερομηνία έκδοσης 2011-01-28
Συλλογή   Σχολή/Τμήμα--Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών--Τμήμα Μαθηματικών--Διδακτορικές διατριβές
  Τύπος Εργασίας--Διδακτορικές διατριβές
Εμφανίσεις 106

Ψηφιακά τεκμήρια
No preview available

Προβολή Εγγράφου
Εμφανίσεις : 9