| Περίληψη |
Όταν διδάσκει κανείς Μαθηματικά βρίσκεται πολλές φορές απέναντι στην ερώτηση από τους μαθητές του: «Πού θα μου χρειαστούν αυτά που μαθαίνω στην καθημερινή μου ζωή;». Απέναντι στο ίδιο ερώτημα βρέθηκε και ο Ευκλείδης, όπως μας αναφέρει ο Ιωάννης Στοβαίος (5ος μ.Χ. αιώνας) στην Ανθολογία του, όταν ξεκίνησε να διδάσκει σε μαθητή του τα θεωρήματα της Γεωμετρίας, «...και τώρα τι κέρδος θα έχω, αφού το έμαθα;». Όλοι όσοι έχουνε ουσιαστική σχέση με τα Μαθηματικά μπορούνε να καταλάβουνε ότι τα ερωτήματα αυτά δημιουργούνται στους μαθητές λόγω της ιδιαίτερης φύση που αυτά έχουν. Τα Μαθηματικά ουσιαστικά είναι μια θεωρητική επιστήμη η οποία όμως έχει βρει εφαρμογές σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Aν δεν υπήρχαν αυτές οι εφαρμογές ελάχιστοι άνθρωποι θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν την αξία της Μαθηματικής επιστήμης. Από τον Ιάμβλιχο τα Μαθηματικά, τοποθετούνται ως εξής: «κάλλει τε καί τάξει και ἀκριβείᾳ προέχοντα τῶν ὀρατῶν, ἀπολειπόμενα δέ τῶν νοητῶν, συμμετρίᾳ τε ὡσαύτως καί ὁμολογίᾳ μέσῃ χρώμενα, δύναμίν τε ἒχοντα διαπορθεύειν καί διαβιβάζειν ἐπί τά ἀμέριστα εἲδη ἅτε συγγενῆ πρός αὐτά ὑπάρχοντα». Δηλαδή, «Τα Μαθηματικά υπερέχουν από τα ορατά και υστερούν από τα νοητά σε κάλος, τάξη και ακρίβεια. Βρίσκονται σε μια ενδιάμεση συμμετρία και συμφωνία, έχουν την δύναμη να μας προωθούν, στέλνοντάς μας στις ιδέες τις αδιαίρετες μια και είναι συγγενής με αυτές». Οι μαθητές όμως που πρέπει να εργάζονται με την σκέψη προς τα νοητά αναζητούν την αξία των Μαθηματικών στο ορατό και στο χειροπιαστό. Η αναζήτηση αυτής της ενδιάμεσης συμμετρίας όταν διδάσκονται θα ήταν ο τρόπος για την αποφυγή προβλημάτων που αντιμετωπίζονται στις σχολικές τάξεις. Μια τέτοια συμμετρική λογική θα διαμόρφωνε την διδακτέα ύλη στα σχολικά προγράμματα έτσι ώστε να περιέχονται σ΄αυτά οι διάφορες Μαθηματικές έννοιες ανάλογα με την ιστορική τους βαρύτητα. Από την ανακάλυψη της ασυμμετρίας μέχρι τη θεμελίωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών υπάρχει μια καταγεγραμμένη ιστορία 2400 χιλιάδων χρόνων προβληματισμού και δημιουργικότητας. Στην δική μας σχολική πραγματικότητα ποια θέση έχουν οι έννοιες αυτές; Στο σχολικό βιβλίο της Β΄ Γυμνασίου που διδάσκονται οι άρρητοι αριθμoί και το σύνολο των πραγματικών αριθμών αφιερώνονται οι «πολλές» 2 σελίδες από το σύνολο των 254 του σχολικού εγχειρίδιου. Όπως καταλαβαίνουμε η ποσότητα της ύλης και η προσπάθεια για την ολοκλήρωσή της στον σύντομο σχολικό χρόνο δεν αφήνει περιθώρια για παραπέρα εμβάθυνση σε αυτό το τόσο σημαντικό κομμάτι της θεωρίας. Αυτή η επιλογή διαταράσσει την ενδιάμεση συμμετρία για την οποία μιλήσαμε πριν. Η αξιοποίηση της ιστορίας για την διδασκαλία των Μαθηματικών έχει τονιστεί από πολλούς ερευνητές στην Ελλάδα αλλά και διεθνώς. Η χρησιμότητά της για την νοητική εμβάθυνση κατά την διδασκαλία των Μαθηματικών εννοιών έχει φανεί όπου η διδασκαλία δεν έχει περιοριστεί μόνο στην δημιουργικότητα των τελευταίων 2
10
αιώνων. Με την εργασία αυτή δεν θα επιχειρηματολογήσω για την ανάγκη χρήσης της ιστορίας στην καθημερινή πρακτική της τάξης των Μαθηματικών, το έχουν κάνει όπως είπα πριν αρκετοί και πολύ πετυχημένα. Στην εργασία αυτή θα παρουσιαστούν σημειώματα και τεχνικές από την ιστορία, που άπτονται των σχολικών Μαθηματικών. Η παρουσίαση αυτή, όσο είναι δυνατόν, θα ακολουθήσει την χρονολογική αλληλουχία.
Πιο συγκεκριμένα θα ξεκινήσουμε από την αρχαία Αίγυπτο και Μεσοποταμία. Εκεί τα Μαθηματικά (ή Μαθηματικές τέχνες κατά τον Αριστοτέλη) είναι γήινα, εκεί ξεκινά και ο όρος Γεωμετρία (Γεωμετρία = Μέτρηση της γης), εκεί εμφανίστηκαν οι πρώτες καταγεγραμμένες ανάγκες για μετρήσεις καλλιεργήσιμων εκτάσεων. Εκεί εμφανίστηκαν και οι πρώτοι «τύποι» για την μέτρηση του εμβαδού, αλλά και οι πρώτες προσεγγιστικές διαδικασίες για το εμβαδόν του τετραπλεύρου και κύκλου. Η συνέχεια θα μας φέρει στην αρχαία Ελλάδα εκεί που οι Μαθηματικές τέχνες θα μπολιαστούν με την φιλοσοφική σκέψη των αρχαίων Ελλήνων και θα τις οδηγήσουν στον χώρο των ιδεών (αξιωματική θεμελίωση). Εκεί ουσιαστικά θα δημιουργηθεί η Μαθηματική επιστήμη. Μέσα στο περιβάλλον αυτό θα παρουσιαστεί η ανακάλυψη της ασυμμετρίας, η θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου και η μέθοδος της εξάντλησης των Ευδόξου και Αρχιμήδη. Από την εποχή αυτή θα αντλήσουμε τεχνικές με τις οποίες τετραγωνίστηκαν τα πολυγωνικά χωρία αλλά και ο κύκλος. Από την περίοδο αυτή θα παρουσιαστεί και η Τριγωνομετρία η οποία αναπτύσσεται ως εργαλείο για την μελέτη της κίνησης των πλανητών και των άστρων. Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με την Tριγωνομετρία που αναπτύσσεται από Ινδούς και Άραβες μέχρι την Ευρώπη την εποχή του Regiomontanus (15ος αιώνας). Θα δούμε πώς μεταβαίνουμε από τον υπολογισμό τόξων στις χορδές κύκλου, καθώς και στην σύγχρονη μορφή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις θα προστεθούν και άλλοι τρόποι ορισμού χωρίς την χρήση γωνιών ή τόξων κύκλου, αφού θα έχει παρουσιαστεί η σύγχρονη μορφή του απειροστικού λογισμού. Από την Ευρώπη πριν από τον απειροστικό λογισμό (17ος αιώνας) μας έρχεται η μέθοδος του Cavalieri με την οποία θα μετρηθεί το εμβαδό της κυκλοειδούς καμπύλης. Από την σύγχρονη περίοδο (19ος αιώνας) θα παρουσιάσουμε το ολοκλήρωμα του Riemann για το υπολογισμό του εμβαδού χωρίων. Εκεί θα δούμε ότι το ολοκλήρωμα αυτό αναδύεται από την αρχαία μέθοδο της εξάντλησης, χρησιμοποιώντας και σύγχρονα επιχειρήματα, όπως αυτό του ορίου. Επίσης την ίδια αυτή περίοδο έχουμε την θεμελίωση των πραγματικών αριθμών ως αντιμεταθετικό σώμα με αρχή πληρότητας. Η θεμελίωση των πραγματικών αριθμών μέσω των τομών Dedekind θα μας θυμίσει την θεωρία αναλογιών του Ευδόξου. Η εργασία ολοκληρώνεται με την διερεύνηση της έννοιας του εμβαδού στα σχολικά Μαθηματικά. Στην τελευταία αυτή ενότητα δίνεται μια πλήρη θεμελίωση της έννοιας του εμβαδού ευθύγραμμων σχημάτων με χρήση της τριγωνοποίησης.
|
Ιστορικά σημειώματα και τεχνικές κλασικών μαθηματικών για αξιοποίηση στην τάξη
