| Περίληψη |
Αναλύουμε τις ιδιότητες του μη γραμμικού, στοχαστικού dimer ( ένα σύστημα με δύο άτομα όπου το καθένα βρίσκεται σε μια στοχαστική ενέργεια) χρησιμοποιώντας τη διακριτή, μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger. O στόχος είναι να λάβουμε μια λύση τέτοιων συστημάτων κυρίως με αριθμητικές μελέτες. Αναλυτικές μελέτες έχουν ληφθεί μόνο στις οριακές περιπτώσεις όπου έχουμε πολύ μικρή τυπική απόκλιση και πολύ μεγάλο χρόνο συσχέτισης.
Με την εισαγωγή μιας έντονης στοχαστικής επίδρασης και για μηδενική μη γραμμικότητα, φαίνεται πως η μέση τιμή της διαφοράς της πιθανότητας, μετά την πάροδο κάποιου χρόνου και ύστερα από μια ταλαντευτική συμπεριφορά, οδηγείται προς το μηδέν. Ο ρυθμός πτώσης προς το μηδέν είναι πιο έντονος με την αύξηση της τυπικής απόκλισης και τη μείωση του χρόνου συσχέτισης.
Για μη μηδενική μη γραμμικότητα και με την εισαγωγή μιας ελαφρώς στοχαστικής επίδρασης, φαίνεται πως η μέση τιμή της διαφοράς της πιθανότητας ( η πιθανότητα το σωμάτιο να βρεθεί στο πρώτο η στο δεύτερο άτομο) συγκλίνει προς μια σταθερή τιμή. Για έντονη στοχαστική επίδραση το αποτέλεσμα είναι μόνο το ακόλουθο. Η μέση τιμή της διαφοράς της πιθανότητας, μετά την πάροδο κάποιου χρόνου, οδηγείται προς το μηδέν. Η κατάσταση αυτή λαμβάνει χώρα για κάθε τιμή της μη γραμμικότητας. Η δύναμη της τελευταίας προσπαθεί να ‘αντισταθεί’ κρατώντας το σύστημα σε μια σταθερή τιμή. Μάλιστα, όσο μεγαλύτερη η μη γραμμικότητα τόσο περισσότερο χρόνο σταθεροποιείται το σύστημα σε αυτήν την ιδική τιμή. Ωστόσο, μέσω της έντονης στοχαστικότητας, κάποια στιγμή η μέση τιμή της διαφοράς των δύο πιθανοτήτων, θα λάβει και πάλι τη τιμή μηδέν.
Όσον αφορά το φαινόμενο μεταφοράς, με την εισαγωγή μιας έντονης στοχαστικής επίδρασης και για μηδενική μη γραμμικότητα το σύστημα συμπεριφέρεται σαν υπό-διάχυση. Τη διάχυση τη παρατηρούμε ως μια οριακή περίπτωση, όταν ο χρόνος συσχέτισης αρχίζει και μεγαλώνει. Αντίθετα, για μη μηδενική μη γραμμικότητα και με την εισαγωγή μιας ελαφρώς στοχαστικής επίδρασης, λαμβάνουμε το φαινόμενο της υπέρ-μεταφοράς. Σε αυτήν την περίπτωση, η βαλλιστική μεταφορά παρατηρείται με την οριακή εξέλιξη της μη γραμμικότητας προς τη τιμή ένα.
|
Numerical studies of the stochastic, discrete, nonlinear Shcrodinger equation
