| Περίληψη |
Το θέμα αυτής της εργασίας είναι η εικασία του υπερεπιπέδου για κυρτά σώματα στον Rn. Ένας από τους πολλούς ισοδύναμους τρόπους με τους οποίους μπορεί να διατυπωθεί είναι ο εξής: Εικασία: Υπάρχει απόλυτη σταθερά c>0 τέτοια ώστε: για κάθε κυρτό σώμα K στον Rn που έχει όγκο 1, υπάρχει (n−1)-διάστατη τομή του K που περνάει από το κέντρο βάρους του και έχει (n−1)-όγκο μεγαλύτερο από c. Το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα για το πρόβλημα έχει αποδειχθεί από τον J. Bourgain ([Bou1], 1990): Αν το K έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων o και όγκο 1, τότε υπάρχει (n−1)-διάστατη κεντρική τομή του K με όγκο μεγαλύτερο από c4√nlogn)-1, όπου c>0 απόλυτη σταθερά. Για την απόδειξη του θεωρήματος του Bourgain απαιτούνται πολλά από τα βασικά αποτελέσματα της ασυμπτωτικής θεωρίας χώρων πεπερασμένης διάστασης με νόρμα: 1. Η ανισότητα Brunn-Minkowski και εφαρμογές της στην μελέτη των τομών ενός κυρτού σώματος (Κεφάλαιο 1). 2. Η ανισότητα του Pisier για τη νόρμα της Rademacher προβολής. Συνέπεια: κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα έχει γραμμική εικόνα όγκου 1 με μέσο πλάτος μικρότερο από c√n log n (Κεφάλαιο 2). 3. Η ανισότητα του Sudakov για τους αριθμούς κάλυψης ενός σώματος από μπάλες δεδομένης ακτίνας, και η διάσπαση Dudley-Fernique (Κεφάλαιο 3). Κάθε κυρτό σώμα K στον Rn με κέντρο βάρους το o έχει γραμμική εικόνα TK όγκου 1 με την ιδιότητα ∫TK (x,θ)2dx=L2K για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα θ, όπου (⋅,⋅) το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στον Rn. Η εικόνα TK είναι μονοσήμαντα ορισμένη αν εξαιρέσουμε ορθογώνιους μετασχηματισμούς, και λέγεται ισοτροπική θέση του K. Η σταθερά LK είναι μονοσήμαντα ορισμένη για την γραμμική κλάση του K, και λέγεται ισοτροπική σταθερά του K. Στο Κεφάλαιο 4 αποδεικνύουμε ότι η εικασία του υπερεπιπέδου είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη απόλυτης σταθεράς C>0 με την ιδιότητα: LK≤C για κάθε κυρτό σώμα K με κέντρο βάρους το o. Με μικρές τροποποιήσεις του επιχειρήματος του Bourgain δείχνουμε ότι LK≤c4√nlog για κάθε κυρτό σώμα K στον Rn που έχει κέντρο βάρους το o. Το αποτέλεσμα αυτό γενικεύει την εκτίμηση του Bourgain για την εικασία του υπερεπιπέδου σε μη-συμμετρικά κυρτά σώματα. Το προηγούμενο γνωστό αποτέλεσμα ήταν η ανισότητα LK≤c√n (βλέπε S. Dar, [D1], [D2]). Τέλος, αποδεικνύουμε την ισοδυναμία της εικασίας του υπερεπιπέδου με τις ασυμπτωτικές εκδοχές κλασικών προβλημάτων της Κυρτής Γεωμετρίας, όπως το πρόβλημα των Busemann και Petty, και το πρόβλημα του Sylvester.
|
Η εικασία του υπερεπιπέδου για κυρτά σώματα στον R^n
