| Περίληψη |
Κεντρικό πρόβλημα της Θεωρίας Αριθμών είναι η επίλυση διοφαντικών εξισώσεων, δηλαδή η εύρεση όλων των ρητών σημείων αλγεβρικών καμπυλών και γενικότερα αλ¬γεβρικών πολλαπλοτήτων. Δίνεται μία αφινική καμπύλη C ορισμένη σε ένα σώμα K και το πρόβλημα είναι η εύρεση όλων των K-ρητών σημείων αυτής. Το σώμα K μπορεί να είναι το σώμα των ρητών αριθμών Q, ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών (δηλαδή μία πεπερασμένη επέκταση του Q), ένα σώμα p-αδικών αριθμών Qp, p Ε P ή ένα τοπικό σώμα (δηλαδή πεπερασμένη επέκταση κάποιου p-αδικού σώματος αριθμών), ή, ακόμη, ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων.
Οι καμπύλες διαιρούνται σε τρεις κατηγορίες, ανάλογα με το αν το γένος τους είναι g = 0, g =1 ή g > 2. Κάθε κατηγορία έχει διαφορετική προσέγγιση. Το 1983, ο Faltings απέδειξε ότι αν το K είναι αλγεβρικό σώμα αριθμών και C μία καμπύλη ορισμένη υπέρ το K, τότε το σύνολο των ρητών σημείων της καμπύλης, C(K), είναι πεπερασμένο. Η απόδειξη όμως δεν υποδεικνύει αλγόριθμο υπολογισμού αυτών.
Στην παρούσα εργασία, εξετάζονται διάφορες μέθοδοι καθορισμού του συνόλου όλων των ρητών σημείων δοθείσας υπερελλειπτικής καμπύλης. Βασικά, λοιπόν, επιθυμούμε να καθορίσουμε το σύνολο όλων των ρητών λύσεων (x,y) Ε Q x Q της τετραγωνικής εξίσωσης Y2 = f (X) όπου f (X) Ε Z[X] ένα ανάγωγο πολυώνυμο υπέρ το Q βαθμού deg(/) > 5.
Στο πρώτο κεφάλαιο, αναπτύσσονται σημαντικές έννοιες Αλγεβρικής Γεωμετρίας (Θε¬ωρίας Αλγεβρικών Καμπυλών), χρήσιμες στα επόμενα.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναπτύσσονται βασικές έννοιες της θεωρίας των p-αδικών σω¬μάτων, τρεις διαφορετικές μεταξύ τους εκφράσεις του Λήμματος του Hensel, καθώς και το τοπικό-γενικό αξίωμα.
Το τρίτο, τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο αποτελούν το κύριο μέρος της εργασίας. Ση-μαντικότατο βοήθημα στην επεξεργασία του αντικειμένου αποτέλεσαν οι παραδόσεις-σημειώσεις του Michael Stoll στο Πανεπιστήμιο του Bayreuth το 2014 και το 2019.
Στο τρίτο κεφάλαιο εφαρμόζουμε τα θεωρήματα του πρώτου στην ειδική περίπτωση των υπερελλειπτικών καμπυλών. Τα K-ρητά σημεία της υπερελλειπτικής καμπύλης C, εμφυτεύονται στα K-ρητά σημεία της Ιακωβιανής, J(K). Επομένως το πρόβλημα
ανάγεται στην εύρεση όλων των ρητών σημείων της Ιακωβιανής. Η J(K) είναι πεπε¬ρασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα.
Στο τέταρτο κεφάλαιο, επιτυγχάνεται η εύρεση ενός άνω φράγματος του rank αυτής, μέσω της έννοιας της 2-ομάδας του Selmer. Η ομάδα αυτή ορίζεται εδώ με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι βολική σε υπολογισμούς. Γενικά, η 2-ομάδα του Selmer, ορίζεται μέσω της θεωρίας της συνομολογίας του Galois. Παρουσιάζει όμως δυσχέρεια στους υπολογισμούς.
Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο περιγράφεται η μέθοδος του Chabauty, η οποία έγινε effective από τον Coleman, ο οποίος όρισε μία p-αδική θεωρία ολοκλήρωσης και μέσω της οποίας, όταν ο Mordell-Weil βαθμός (rank) της J(Q) είναι αυστηρά μικρότερος του γένους g = g(C), έδωσε ένα άνω φράγμα του C(Q).
Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω είναι δυνατόν σε αρκετές περιπτώσεις να λύσουμε δο¬θείσα διοφαντική εξίσωση.
Ας σημειωθεί ότι οι υπερελλειπτικές καμπύλες μικρού γένους (2 ή 3), χρησιμοποιούνται και στην κρυπτογραφία.
|
Αριθμητική υπερελλειπτικών καμπυλών
