| Περίληψη |
Κεφάλαιο 1: Πρώτα διατυπώνουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών Diri-
chlet για μια ημιγραμμική εξίσωση κύματος. 'Επειτα, με τη μέθοδο της ενέργειας, κατασκευάζουμε
ένα a-priori φράγμα της λύσης το οποίο εξαρτάται από τα δεδομένα του προβλήματος. Στη συνέχεια,
με χρήση αυτού του φράγματος και στοιχείων της θεωρίας χώρων Sobolev , αποδεικνύουμε, χωριστά
για κάθε χωρική διάσταση, τη μοναδικότητα της λύσης της ημιγραμμικής εξίσωσης κύματος.
Κεφάλαιο 2: Εισάγονται οι υποθέσεις μας για τους χώρους πεπερασμένων στοιχείων και τις προ-σεγγιστικές τους ιδιότητες. Διατυπώνεται ο ορισμός της ελλειπτικής προβολής και αποδεικνύονται εκτιμήσεις του σφάλματος προσέγγισής της στην H 1(Ω) και L2(Q) νόρμα. Επιπλέον, παραθέτουμε το Θεώρημα Taylor με ολοκληρωτικό υπόλοιπο το οποίο θα χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση του σφάλματος συνέπειας. Κλείνουμε το κεφάλαιο παρουσιάζοντας μερικά διακριτά λήμματα Gronwall.
Κεφάλαιο 3: Διατυπώνεται μια αριθμητική μέθοδος για την προσέγγιση της λύσης της γραμμικής εξίσωσης του κύματος, η οποία προκύπτει διακριτοποιώντας την εξίσωση στο χρόνο με τη μέθοδο Newmark με παράμετρο β £ (4, ^] και στο χώρο με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων. Αποδει¬κνύεται η ύπαρξη και η μοναδικότητα των αριθμητικών προσεγγίσεων και εκτιμώνται τα σφάλματα συνέπειας της διακριτοποίησης στο χρόνο και διατυπώνεται ένα αποτέλεσμα ευστάθειας. Η συγκλι¬ση της μεθόδου εξασφαλίζεται αποδεικνύοντας βέλτιση τάξης εκτίμηση της μορφής 0(τ2 + hK) για την H:(Ω) νόρμα του σφάλματος και της μορφής 0(τ2 + hK+1) για την L2(Q) νόρμα της πρώ¬της διακριτής χρονικής παραγώγου του σφάλματος, όπου τα h και τ εκφράζουν, αντίστοιχα, τις παραμέτρους χωρικής και χρονικής διακριτοποίησης.
Κεφάλαιο 4: Κατά αντιστοιχία με το Κεφάλαιο 3, διατυπώνεται μια αριθμητική μέθοδος για
την προσέγγιση της λύσης της ημιγραμμικής εξίσωσης του κύματος, η οποία προκύπτει διακριτο-
ποιώντας την εξίσωση στο χρόνο με μια γραμμικά πεπλεγμένη παραλλαγή της μεθόδου
με παράμετρο β £ (4, ^] και στο χώρο με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων. Αποδεικνύεται η
ύπαρξη και η μοναδικότητα των πλήρως διακριτών προσεγγίσεων με τη μέθοδο της ενέργειας και
εκτιμώνται τα σφάλματα συνέπειας της διακριτοποίησης στο χρόνο. Επιπροσθέτως, κατασκευάζεται
ένα a-priory φράγμα για τις αριθμητικές προσεγγισεις λύσης που εξαρτάται πάλι από τα δεδομένα
του προβλήματος και είναι ανεξάρτητο από τις παραμέτρους διακριτοποίησης. Εν κατακλείδι, αποδει-
κνύεται σύγκλιση τάξης 0(τ2 + hK) ως προς την H1 (Ω) νόρμα του σφάλματος και σύγκλιση τάξης
0(τ2 + hK+1) ως προς την L2(iX) νόρμα της πρώτης διακριτής χρονικής παραγώγου του σφάλμα-
τος, χρησιμοποιώντας στοιχεία από τη θεωρία χώρων Sobolev και τα ήδη αποδεδειγμένα
φράγματα για τις αριθμητικές προσεγγίσεις.
|
Αριθμητική προσέγγιση της γραμμικής και ημιγραμμικής εξίσωσης του κύματος
