E-Locus - Ιδρυματικό Καταθετήριο Πανεπιστημίου Κρήτης - Ρυθμός μείωσης κυκλικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων

Αρχική Ρυθμός μείωσης κυκλικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων

Αποτελέσματα - Λεπτομέρειες

[Προσθήκη στο καλάθι]

Κωδικός Πόρου

000347970

Τίτλος

Ρυθμός μείωσης κυκλικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων

Άλλος τίτλος

Decay of circular means of fourier transform of measures

Συγγραφέας

Χατζηφούντας, Χρήστος

Σύμβουλος διατριβής

Παπαδημητράκης, Μιχάλης

Περίληψη

Από τη θεωρία μέτρου γνωρίζουμε τι θεώρημα του Steinhaus για μια ιδιότητα των σύνολων θετικού μέτρου: αν το σύνολο A ⊆ R έχει θετικό μέτρο τότε το A − A περιέχει μια περιοχή του μηδενός. Παρόλο που το θεώρημα αυτό είναι σχετικά απλό στην διατύπωση και την απόδειξη του, η γενίκευση του στις ανώτερες διαστάσεις έχει αποδειχτεί ενα από τα πιο σύγχρονα και δύσκολα προβλήματα της γεωμετρικής θεωρίας μέτρου, το λεγόμενο "Falconer’s distance set conjecture" το οποίο δια τυπώνεται ως εξής. Έστω Α ένα υποσύνολο του R². Αν το Α έχει διάσταση Hausdorff μεγαλύτερη της μονάδας τότε το σύνολο αποστάσεων του, ΔA = {|x− y| : x ∈ A, y ∈ A} έχει θετικό μέτρο Lebesgue. O Pertti Mattila πρώτος χρησιμοποίησε προχωρημένες τεχνικές αρμονικής ανάλυσης και γεωμετρικής θεωρίας μέτρου για την επίλυση του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα ξεκίνησε από την εξής παρατήρηση. Έστω ένα μέτρο μ με φορέα που περιέχεται στο Α και ν_μ(B) η προώθηση αυτού του μέτρου: ν_μ(B) = μ x μ {(x, y) : |x−y| ∈ B} ,B ⊂ R, B Borel σύνολο. Τότε αν ο μετασχηματσιμός Fourier του ν_μ είναι στον L₂ συνεπάγεται ότι |Δ(E)|>0. Η τεχνική που ανέπτυξε ο Mattila περιέχει εκτιμήσεις σφαιρικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων. Το θεώρημα που θα αναλυθεί παρακάτω δίνει εκτίμηση κυκλικών μέσων μετασχηματισμού Fourier μέτρων, οφείλεται στον Thomas Wolff και είναι το καλύτερο αποτέλεσμα για την "distance set conjecture" στο επίπεδο, που υπάρχει μέχρι σήμερα.

Φυσική περιγραφή

30 σ. : εικ. ; 28 εκ.

Γλώσσα

Ελληνικά

Θέμα

Aρμονική ανάλυση

Distance set conjecture

Harmonic analysis

Hausdorff measure

geometric measure theory

Γεωμετρική θεωρία μέτρου

Μέτρο Hausdorff