\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[greek]{babel}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\tl }{\textlatin }
\newtheorem{lemma}{Λήμμα}[section]
\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section]
\newtheorem{proposition}{Πρόταση}[section]
\newtheorem{corollary}{Πόρισμα}[section]

\begin{document}
\small

\centerline {\bf Κυριαρχούντα μέτρα για υποκανονικές ανελίξεις}

\medskip

\centerline {\bf Ν. Δαφνής}

\bigskip

\medskip

Το γενικό πλαίσιο της εργασίας είναι αυτό των υποκανονικών ανελίξεων
${\mathcal X}=(X_t)_{t\in T}$ με δείκτες από ένα μετρικό χώρο $(T,d)$.
Γίνεται μελέτη της μέσης τιμής
$${\mathbb E}\sup_{t\in T}X_t:=\sup\bigg\{ {\mathbb E}\sup_{t\in F}X_t:
F\subseteq T, |F|<+\infty \bigg\}$$
και της σχέσης της με τη γεωμετρία του $(T,d)$. 

\medskip

Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται τα κλασικά φράγματα των \tl{Sudakov}
και \tl{Dudley} για την περίπτωση των ανελίξεων του \tl{Gauss}:
Υπάρχουν απόλυτες σταθερές $c_1,c_2>0$ με την εξής ιδιότητα: για κάθε ανέλιξη του \tl{Gauss}
${\mathcal Z}=(Z_t)_{t\in T}$,
$$c_1\sup_{\varepsilon >0}\left (\varepsilon\sqrt{\log N(T,d,\varepsilon )}\right )
\leq {\mathbb E}\sup_{t\in T}Z_t\leq c_2\int_0^{\infty }\sqrt{\log N(T,d,\varepsilon )}
d\varepsilon $$
όπου $d(t,s)=\| Z_t-Z_s\|_2$ και $N(T,d,\varepsilon )$ είναι οι αριθμοί κάλυψης του $(T,d)$.

\medskip

Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται η γενική μελέτη της υποκανονικής περίπτωσης.
Για κάθε \tl{Borel} μέτρο πιθανότητας $\mu $ στον $(T,d)$ χρησιμοποιείται
η ποσότητα
$$\gamma_2(T,d,\mu )=\sup_{t\in T}\int_0^{\infty }\sqrt{\log\left (\frac{1}{\mu (B(t,\varepsilon ))}
\right )}d\varepsilon ,$$
ως μέτρο για την ${\mathbb E}\sup_{t\in T}X_t$. Το Θεώρημα του \tl{Talagrand}
για τα κυριαρχούντα μέτρα είναι το εξής: Υπάρχει σταθερά $K>0$ με τις εξής ιδιότητες: 

(α) Αν $(T,d)$ είναι ένας μετρικός χώρος
και $X=(X_t)_{t\in T}$ μια υποκανονική ανέλιξη, τότε
$${\mathbb E}\sup_{t\in T}X_t\leq K\cdot\gamma_2(T,d)$$
όπου $\gamma (T,d)=\inf_{\mu }\gamma (T,d,\mu )$.

(β) Αν η ${\mathcal Z}=(Z_t)_{t\in T}$ είναι ανέλιξη του \tl{Gauss}
και αν ο $(T,d)$ έχει πεπερασμένη διάμετρο, όπου $d$ είναι
η απόσταση που επάγεται από την ${\mathcal Z}$ στο $T$, τότε
$$\frac{1}{K}\cdot\gamma_2(T,d)\leq {\mathbb E}\sup_{t\in T}Z_t\leq K\cdot\gamma_2(T,d).$$

\medskip

Στο Κεφάλαιο 4 εξετάζεται αναλυτικά η περίπτωση που τo ρόλο του
$(T,d)$ παίζει ένα ελλειψοειδές $E$ στον $\ell_2$. Η μελέτη που γίνεται
δείχνει ότι το κλασικό φράγμα του \tl{Dudley} δεν είναι πάντα ακριβές.
Οι τεχνικές του Κεφαλαίου 3 χρησιμοποιούνται για την απόδειξη φραγμάτων
τύπου \tl{Sudakov} που συνδέουν την εντροπία του $E$ με τα κυριαρχούντα
μέτρα. Τα φράγματα αυτά εφαρμόζονται σε ένα πρόβλημα
για τα εμπειρικά μέτρα στο μοναδιαίο τετράγωνο (Θεώρημα των
\tl{Ajtai-Koml\`{o}s-Tusn\`{a}dy}).

\medskip

Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται μια εφαρμογή του Θεωρήματος των κυριαρχούντων
μέτρων στη θεωρία των
κυρτών σωμάτων: δίνεται μια απόδειξη της εκτίμησης του \tl{Bourgain} για το γνωστό
πρόβλημα της σταθεράς ισοτροπίας.


\end{document}
