Your browser does not support JavaScript!

Αρχική    Malliavin calculus for a combined stochastic partial differential equation with unbounded noise diffusion & applications  

Αποτελέσματα - Λεπτομέρειες

Προσθήκη στο καλάθι
[Προσθήκη στο καλάθι]
Κωδικός Πόρου 000448887
Τίτλος Malliavin calculus for a combined stochastic partial differential equation with unbounded noise diffusion & applications
Άλλος τίτλος Ανάλυση Malliavin για την πυκνότητα λύσεων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων σε προβλήματα αλλαγής φάσης
Συγγραφέας Φαραζάκης, Δημήτριος
Σύμβουλος διατριβής Καραλή Γεωργία
Περίληψη Πρωταρχικός σκοπός αυτής της διατριβής είναι ο συνδυασμός μαθηματικών τεχνικών στον τομέα της φυσικής και των οικονομικών για την προσέγγιση δυναμικών συστημάτων που διέπονται από αβεβαιότη- τα. Κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται στις εξής βιβλιογραφίες ([14], [13]). Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με την πρώτη ερευνητική εργασία εξ΄ αυτών. Το στοχαστικό μοντέλο Cahn-Hilliard/Allen-Cahn ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των δυναμικών συστημάτων και συγκεκριμένα είναι μια εξίσωση αντίδρασης-διάχυσης. Πρόκει- ται για το συνδυασμό των εξισώσεων Cahn-Hilliard και Allen-Cahn όπως περιγράφεται στην βιβλιογραφία [135], δηλαδή με την παρουσία πολλαπλασιαστικού λευκού θορύβου ως προς τον χώρο και χρόνο σύμφωνα με την προσέγγιση του Walsh, [226]. Η παραπάνω στοχαστική διαφορική εξίσωση εκφράζει την εξέλιξη της διαχυτικής διαδικασίας μιας επιφάνειας ως προς τις αλληλεπιδράσεις των μορίων της (Cahn-Hilliard), καθώς και την διαδικασία του φαινομένου προσρόφησης-εκρόφησης προς και από την προαναφερθείσα επιφάνεια (Allen-Cahn) αντίστοιχα, [135]. Βασιζόμενοι στα αποτελέσματα της μελέτης [16], εφαρμόζουμε Malliavin calculus στην εξίσωση Cahn-Hilliard/Allen-Cahn με μη φραγμένο συντελεστή διάχυσης. Αρχικά μετα- τρέπουμε την διαφορική μορφή της εξίσωσης σε ολοκληρωτική, χρησιμοποιώντας επίσης υπολογισμούς της συνάρτησης Green σύμφωνα με την μελέτη [226]. Μέσω μιας κατάλληλης συνάρτησης αποκοπής η λύση του διαφορικού μας μοντέλου, u (της οποίας η ύπαρξη και μοναδικότητα στην μία διάσταση έχει αποδειχθεί στην βιβλιογραφία [16]), μετατρέπεται σε τοπικοποιημένη μορφή un. ΄Επειτα χρησιμοποιώντας την μέθοδο διαδοχικών προσεγγίσεων κατά Picard αποδυκνείουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της un, επαληθεύοντας με αυτόν τον τρόπο και την εγκυρότητα της αρχικής επιλογής της συνάρτησης αποκοπής. ΄Ετσι, μπορούμε πλέον να εφαρμόσουμε τον τελεστή Malliavin, D, στην un και να καθιερώσουμε την ύπαρξη και μοναδι- κότητα λύσης της έκφρασης Dun. Πρόκειται για ένα σημαντικό αποτέλεσμα στην έρευνα αυτή, διότι ως άμεση συνέπεια είναι η απόδειξη της απόλυτης συνέχειας της τοπικοποιημένης ακολουθίας un. Αυτό σημα- ίνει και ότι η λύση, u, της εξίσωσης Cahn-Hilliard/Allen-Cahn είναι απολύτως συνεχής, καθώς και ότι έχει πυκνότητα. Συγκεκριμένα αποδεικνύουμε ότι ο νόμος τόσο της un όσο και της u είναι απολύτως συνεχής ως προς το μέτρο Lebesgue στον R, και άρα έχουν πυκνότητα. Η παραπάνω προσέγγιση είναι βασισμένη στην εργασία [50]. Η επόμενη καινοτομία αυτής της διατριβής περιγράφεται στην ερευνητική εργασία [13], η οποία σχετίζεται με το πρόβλημα Stefan μιας φάσεως. Πρόκειται για ένα δυναμικό σύστημα μιας διάστασης που περιγράφει τη συνολική πυκνότητα των sell και buy limit orders ενός περιουσιακού στοιχείο υπό την ύπαρξη spread. Επίσης το παραπάνω μοντέλο ικανοποιεί το στοχαστικό πρόβλημα κατά Stefan σε συδυασμό με την εξίσωση της θερμότητας παρουσία λευκού θορύβου ως προς χώρο και χρόνο. Επίσης μεσω κατάλληλης αλλαγής μεταβλητών το άνωθεν μοντέλο μπορεί να μετατραπεί σε μια στοχαστικη διαφορική εξίσωση ανακλάσεως (reflected stochastic partial differential equation). Η στοχαστικότητα αυτή προέρχεται από τον θόρυβο του Walsh, [226]. Αρχικά ο πρώτος στόχος είναι η επίτευξη της ύπαρξης ολοκληρωτικής λύσης (global solution) του μοντέλου μας διαμέσου της προσέγγισης που επιτυγχάνεται στις βιβλιογραφίες [16] και [112]. ΄Επειτα περιγράφεται το χρηματοοικονομικό περιβάλλον που αντικατοπτρίζει η διαφορική μας εξίσωση. Δη- λαδή το γενικότερο μαθηματικό πρόβλημα που μελετάμε σε αυτην την εργασία ικανοποιεί συγκεκριμένες χρηματοπιστωτικές αγορές. Αυτές είναι αγορές που λαμβάνουν χώρα ηλεκτρονικά διαμέσου κατάλληλων πλατφόρμων. Επιπλέον οποιαδήποτε επένδυση πραγματοποιείται σε αυτήν την αγορά διακυβεύεται από την παρουσία θορύβου στον οποίο υπόκεινται και οι αντίστοιχοι επενδυτές για την επίτευξη κέρδους.
Φυσική περιγραφή 173 σ. : εικ. ; 30 εκ.
Γλώσσα Αγγλικά
Θέμα Limit order book
Phase transitions
Reaction -diffusion equations
Εξισώσεις αντίδρασης-διάχυσης
Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
Ημερομηνία έκδοσης 2022-07-22
Συλλογή   Σχολή/Τμήμα--Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών--Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών--Διδακτορικές διατριβές
  Τύπος Εργασίας--Διδακτορικές διατριβές
Εμφανίσεις 371

Ψηφιακά τεκμήρια
No preview available

Κατέβασμα Εγγράφου
Προβολή Εγγράφου
Εμφανίσεις : 5