| Περίληψη |
Το Θεώρημα του Dvoretzky για τις σχεδόν σφαιρικές τομές συμμετρικών κυρτών σωμάτων είναι το πρώτο ασυμπτωτικό αποτέλεσμα για χώρους πεπερασμένης διάστασης με νόρμα. Θεώρημα. Υπάρχει απόλυτη σταθερά c>0 τέτοια ώστε: για κάθε epsilon >0 και κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R^n, υπάρχουν k\geq cepsilon^2\log n, k-διάστατος υπόχωρος F του R^n και r>0, που ικανοποιούν την (1+epsilon )^{-1}rD_n\cap F\subset K\cap F\subset (1+epsilon )rD_n\cap F, όπου D_n η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα. Θα δώσουμε πλήρη απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, και θα συζητήσουμε ειδικές περιπτώσεις και επεκτάσεις του. Η μέθοδος της απόδειξης είναι πιθανοθεωρητική ([Mi], [MS]), και βασίζεται στο ((φαινόμενο της συγκέντρωσης του μέτρου)). Τελείως σχηματικά, τα βήματα είναι τα εξής: (α) Υποθέτουμε ότι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K είναι η D_n (η ύπαρξη και η μοναδικότητα ενός τέτοιου ελλειψοειδούς θα συζητηθούν στην Παράγραφο 3). Τότε, η συνάρτηση r:S^{n-1}\rightarrow R με r(x)=\| x\|_K είναι Lipschitz συνεχής με σταθερά 1. (β) Χρησιμοποιώντας την σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα, στην Παράγραφο 5 βλέπουμε ότι υπάρχει θετικός αριθμός L_r (ο μέσος \tl{L\'{e}vy} της r) με την ιδιότητα \sigma\left ( x\in S^{n-1}: |r(x)-L_r|\geq epsilon L_r\right )\leq c\exp \left (-c^{\prime }epsilon^2nL_r^2\right ). Δηλαδή, οι τιμές της r συγκεντρώνονται με την έννοια του μέτρου γύρω από τον μέσο της, όλο και πιό έντονα καθώς η διάσταση n τείνει στο άπειρο. (γ) Η συγκέντρωση αυτή του μέτρου μας επιτρέπει να βρούμε υπόχωρο F του R^n διάστασης k\geq cepsilon^2nL_r^2, τέτοιον ώστε (1+\varepsilon )^{-1}L_r\leq\| x\|_K\leq (1+epsilon )L_r για κάθε x στη μοναδιαία σφαίρα του F. (δ) Ο μέσος $L_r$ είναι, αν εξαιρέσουμε απόλυτες σταθερές, ισοδύναμος με τη μέση τιμή της r M=\int_{S^{n-1}}\| x\|_K\sigma (dx). Τέλος, το Λήμμα των Dvoretzky και Rogers μας δίνει ένα κάτω φράγμα για το M: M\geq c^{\prime\prime }\left (\frac{\log n}{n}\right )^{1/2}. Δηλαδή, k\geq epsilon^2\log n. Για κάθε n-διάστατο χώρο με νόρμα X, ορίζουμε k(X) τον μεγαλύτερο φυσικό k\leq n για τον οποίο υπάρχει k-διάστατος υπόχωρος F του X ο οποίος είναι 4-ισόμορφος με τον \ell_2^k. Η απόδειξη του Θεωρήματος του Dvoretzky μας δίνει k(X)\geq c\left (\frac{M}{b}\right )^2, όπου b=\max\{\| x\|_K:x\in S^{n-1}\}. Στην Παράγραφο 6, υπολογίζουμε την τάξη μεγέθους της παραμέτρου k(\ell_p^n), 1\leq p\leq\infty. Το παράδειγμα του κύβου (k(\ell_{\infty }^n)\simeq\log n) δείχνει ότι η εκτίμηση του Θεωρήματος είναι, σε πλήρη γενικότητα, βέλτιστη. Όταν 1\leq p\leq 2, ισχύει k(X)\simeq n: υπάρχουν Ευκλείδειες τομές της B_p^n με διάσταση ανάλογη του n. Στην Παράγραφο 7 βλέπουμε ότι κάθε σώμα που έχει μικρό λόγο όγκων έχει την ίδια ιδιότητα. Το Θεώρημα του Krivine Έστω X ένας χώρος Banach άπειρης διάστασης και έστω (x_n)_{n=1}^{\infty} μία ακολουθία γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στον X. Μία (πεπερασμένη ή άπειρη) ακολουθία (y_n)_n στον X ονομάζεται ακολουθία της (x_n)_n, αν υπάρχει ακολουθία φυσικών k_1<k_2<..., ώστε, για κάθε n, y_n=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}}a_ix_i, για κάποιους συντελεστές a_i,\; i=k_n+1,... ,k_{n+1}. Θεωρούμε τώρα δύο χώρους Banach (X,\| \cdot \| ),\; (Z,|\| \cdot |\|) και δύο ακολουθίες γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων (x_n)_{n=1}^{\infty} στον X και (z_n)_{n=1}^{\infty} στον Z. Λέμε ότι η (z_n)_n είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμη κατά block στην $(x_n)_n,$ αν, για κάθε $m \in {\mathbb N}$ και κάθε $\varepsil on >0,$ υπάρχει \tl{block} ακολουθία $(y_i)_{i=1}^m$^M της $(x_n)_n$ τέτοια ώστε^M $$(1-\varepsilon )|\| \sum_{i=1}^ma_iz_i|\| \leq \| \sum_{i=1}^ma_iy_i\|\leq (1+ \varepsilon )|\| \sum_{i=1}^ma_iz_i|\|,$$^M για κάθε ακολουθία συντελεστών $(a_i)_{i=1}^m.$^M ^M Ειδικότερα, για $1\leq p <\infty ,$ λέμε ότι ο $\ell_p$ (αντίστοιχα, ο $c_0$) εί ναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος κατά \tl{block}^M στην ακολουθία $(x_n)_n,$ αν η κανονική βάση του $\ell_p$ (αντίστοιχα, του $c_0$ ) είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμη κατά^M epsilon >0,$ ^M υπάρχει \tl{block} ακολουθία $(y_i)_{i=1}^m$^M της $(x_n)_n$ τέτοια ώστε^M $$(1-\varepsilon )\left ( \sum_{i=1}^m|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} \leq \| \sum _{i=1}^ma_iy_i\|\leq (1+epsilon )\left ( \sum_{i=1}^m|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} (αντίστοιχα, (1-epsilon )\max_{i=1,... ,m}|a_i| \leq \| \sum_{i=1}^ma_iy _i\|\leq (1+epsilon ) \max_{i=1,... ,m}|a_i|$), για κάθε ακολουθία συντελεστών (a_i)_{i=1} Το Θεώρημα του Krivine (1976) που θα παρουσιάσουμε είναι το ακόλουθο: Θεώρημα. Έστω (x_n)_{n=1}^{\infty} μία ακολουθία γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε έναν χώρο Banach X. Τότε είτε υπάρχει p,\; 1\leq p<\infty , ώστε ο ell_p να είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος κατά block στην (x_n)_n είτε ο c_0 είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος κατά block στην (x_n)_n. Το ερώτημα αν κάθε χώρος Banach άπειρης διάστασης περιέχει έναν υπόχωρο ισόμορφο με κάποιον ell_p, 1\leq p<\infty , ή με τον c_0, ήταν ένα από τα κεντρικά προβλήματα της θεωρίας χώρων Banach ως τις αρχές της δεκαετίας του 70. Αν ο X είναι χώρος Banach με βάση Schauder (x_n)_n και υπάρχει υπόχωρος του X ισόμορφος με τον ell_p, για κάποιο p\in [1, \infty) (αντίστοιχα, με τον c_0,), τότε είναι γνωστό ότι υπάρχει άπειρη block ακολουθία (y_n)_{n=1}^{\infty} της (x_n)_n που είναι ισοδύναμη με την κανονική βάση του ell_p (αντίστοιχα, του c_0.) Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν σταθερές C, c>0, ώστε, για κάθε n in N και κάθε ακολουθία συντελεστών (a_i)_{i=1}^n, να ισχύει c\left ( \sum_{i=1}^n|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} \leq \| \sum_{i=1}^na_iy_i\|\leq C\left ( \sum_{i=1}^n|a_i|^p\right )^{\frac{1}{p}} (αντίστοιχα, c\max_{i=1,... ,n}|a_i| \leq \| \sum_{i=1}^na_iy_i\|\leq C\max_{i=1,\ldots ,n}|a_i|). Με βάση αυτό, το προηγούμενο ερώτημα μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: Έστω X χώρος Banach με βάση Schauder (x_n)_n. Υπάρχει πάντα μία άπειρη block ακολουθία (y_n)_n της (x_n)_n που είτε είναι ισοδύναμη με τη βάση του ell_p, για κάποιο p\in [1,\infty ), είτε είναι ισοδύναμη με τη βάση του c_0; Το παράδειγμα του Tsirelson (1974) έδωσε αρνητική απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Το θεώρημα του Krivine μπορεί να θεωρηθεί σαν το καλύτερο δυνατό θετικό αποτέλεσμα σε αυτήν την κατεύθυνση.
|
Τα Θεωρήματα των Dvoretzky και Krivine
