| Περίληψη |
Στην εργασία αυτή μελετάμε Σχήματα Πεπερασμένων διαφορών σε μονοδιάσ-
τατα, μη ομοιόμορφα, αναδρομικά οριζόμενα πλέγματα. Συνδυάζουμε τις βασικές ιδιότητες προσέγγισης συναρτήσεων σε μη-ομοιόμορφα πλέγματα, με την ανακατασκευή του πλέγματος, τη χωρική ανανέωση της διακριτής λύσης πάνω στο νέο
πλέγμα, με την χρονική ανανέωση ανανέωση της λύσης, χρησιμοποιώντας σχήματα πεπερασμένων διαφορών σχεδιασμένα ειδικά για μη-ομοιόμορφα πλέγματα. Τα βήματα αυτά ορίζουν το Βασικό Αναδρομικό Σχήμα. Επιπλέον αναλύουμε τις ιδιότητες του Βασικού Αναδρομικού Σχήματος ως ον αϕορά στην Συνολική του Κύμανση και παρέχουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα της δουλειάς αυτής. Αναλυτικότερα: μελετάμε τις βασικές ιδέες των προσεγγίσεων Πεπερασμένων Διαϕορών σε μη-ομοιόμορϕα πλέγματα. Αναλύουμε τις ιδιότητες τους και συγκρίνουμε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους με τις αντίστοιχες προσεγγίσεις σε ομοιόμορϕα πλέγματα.
΄Επειτα, παρουσιάζουμε την μέθοδο ανακατασκευής του πλέγματος, που χρησιμοποιούμε στην εργασία αυτή. Εξηγούμε το τρόπο με τον οποίο κατασκευάζουμε το νέο μη-ομοιόμορϕο πλέγμα, βασιζόμενοι σε γεωμετρικές ιδιότητες της αριθμητικής λύσης και στο υπάρχουν μη-ομοιόμορφο πλέγμα. Περιγράφουμε τα συναρτησοειδή που είναι υπεύθυνα για την ανακατασκευή αυτή και παρουσιάζουμε τις ιδιότητες τους. Σχέσεις με άλλες μεθόδους ανακατασκευής πλέγματος δίνονται
υπό την μορφή αναφορών. ΄Επειτα παρουσιάζουμε την την διαδικασία με την οποία η αριθμητική λύση επαναπροσδιορίζεται στο νέο μη-ομοιόμορφο πλέγμα. Αναλύουμε χαρακτηριστικές ιδιότητες όπως η διατήρη της μάζας και η αρχή μεγίστου.
Προχωράμε, έπειτα, στο βήμα της χρονική ανανέωση του Βασικού Αναδρομικού Σχήματος. Αναϕέρουμε μερικά γνωστά και μερικά νέα αριθμητικά σχήματα, όλα σχεδιασμένα ειδικά για μη-ομοιόμορφα πλέγματα. Παρατηρούμε ότι κάποια εξάυτών είναι ταυτόσημα όταν το πλέγμα είναι ομοιόμορϕο. Αναλύουμε μερικές
απο τις ιδιότητες τους όπως: Συνέπεια, Ευστάθεια, Ακρίβεια χρησιμοποιώντας
την Δραστική Εξίσωση του σχήματος ως βασικό εργαλείο. Κατά τη διάρκεια της
ανάλυσης αυτής ανακαλύπτουμε ότι το κλασσικό κριτήριο συνέπειας για σχήματα Πεπερασμένων Διαϕορών δεν είναι ικανή συνθήκη για να εξασϕαλίσει την συνέπεια του σχήματος όταν το πλέγμα είναι μη-ομοιόμορϕο. Για το λόγο αυτό προτείνουμε μία γενίκευση του κριτηρίου αυτού ως ικανή συνθήκη για την συνέπεια του σχήματος, εφαρμόσιμη και στην περίπτωση του ομοιόμορφο όσο και στην περίπτωση
του μη-ομοιόμορφο πλέγματος. ΄Επειτα παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα μιας
σειράς αριθμητικών πειραμάτων, όπου και συγκρίνουμε τις ιδιότητες ευστάθειας
και ακρίβειας σχημάτων πάνω από ομοιόμορφο και μη-ομοιόμορφο πλέγμα. Τέλος, μελετάμε την Συνολική Κύμανση του Βασικού Αναδρομικού Σχήματος όταν χρησιμοποιούνται αριθμητικά σχήματα που παράγουν ταλαντώσεις. Αποδεικνύουμε ότι κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες η Συνολική Κύμανση είναι φραγμένη και
επιπλέον (κάτω από αυστηρότερες συνθήκες) ότι η αύξηση της Κύμανσης εξάιτίας των ταλαντώσεων μειώνεται με το χρόνο.
Η εργασία αυτή οδήγησε στην κατάθεση τριών ερευνητικών άρθρων σε επιστη-
μονικά περιοδικά.
|
Σχήματα πεπερασμένων διαφορών με αυτόματη αναδιαμέριση για υπερβολικούς νόμους διατήρησης
