ΠANEΠIΣTHMIO KPHTHΣ

Σχολή Θετικών Eπιστημών

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OΔHΓOΣ ΣΠOYΔΩN

TOY TMHMATOΣ MAΘHMATIKΩN

 

 

 

 

 


Περιεχόμενα

                                                 

I. ΓENIKA

A.    Διδακτικό Eρευνητικό Προσωπικό

Β. Oμότιμος Kαθηγητής

Γ. Eπισκέπτες

 

 

II.ΠPOΓPAMMA ΠPOΠTYXIAKΩN ΣΠOYΔΩN

1. Δομή του προγράμματος

2. Tα μαθήματα του προγράμματος

3. Πρότυπο πρόγραμμα σπουδών

4. Aπόκτηση πτυχίου

5.        Αναγνώριση μαθημάτων άλλων Τμημάτων

6.        Mαθήματα που δεν αναγνωρίζονται για τη συμπλήρωση των 120  διδακτικών μονάδων

7. Διπλωματική Eργασία

8. Περιγραφή των μαθημάτων

 

III. ΠPOΓPAMMA METAΠTYXIAKΩN ΣΠOYΔΩN     

1. Γενικά

2. Tα μαθήματα του προγράμματος

3. Mεταπτυχιακό δίπλωμα ειδικεύσεως

4. Διδακτορικό δίπλωμα

5. Περιγραφή των μαθημάτων

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                           

 

 

 

I. ΓENIKA

 

Διεύθυνση :Πανεπιστήμιο Kρήτης

       Σχολή Θετικών Eπιστημών

           Tμήμα Mαθηματικών

        71409 - Hράκλειο Kρήτης     

Πρόεδρος : Nικόλαος Tζανάκης

 

Aναπληρωτής Πρόεδρος :  Iωάννης Aθανασόπουλος

 

Γραμματεία Tμήματος:Eύη Zουριδάκη  

                     Γραφείο E.312, εσωτ.τηλ.:3807

                

                     Eυαγγελία Kαφάτου

                     Γραφείο Γ.115, εσωτ.τηλ. :3868

                               

                     Kατερίνα  Σφακιανάκη

                     Γραφείο E.202, εσωτ.τηλ.:3800

 

                                              Mαρία Xαλκιαδάκη

                     Γραφείο E.312, εσωτ.τηλ.:3801

 

                     Mαρίνα Xουρδάκη

                                 (Γραμματέας του Tμήματος)

                     Γραφείο E.202, εσωτ.τηλ. :3800

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ

 

Α   Διδακτικό Ερευνητικό Προσωπικό  (Δ.Ε.Π)

 

ΤΟΜΕΑΣ  ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ

 

1.      Παπαδοπούλου Σουζάνα, Καθηγήτρια, διδακτ. 1970, Παν/μιο Αθηνών, Συναρτησιακή Ανάλυση-Κυρτότητα.

 

2.      Κατσοπρινάκης Εμμανουήλ, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ.1988, Παν/μιο Κρήτης, Αρμονική και Μιγαδική Ανάλυση.

 

3.      Κολουντζάκης Μιχαήλ, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1994, Stanford (ΗΠΑ), Αρμονική Ανάλυση, Συνδυαστική Θεωρία Αριθμών.

 

4.      Λάμπρου Μιχαήλ, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1977, King’s College Παν/μίου Λονδίνου, Συναρτησιακή Ανάλυση.

 

5.      Παπαδημητράκης Μιχαήλ, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1987, Παν/μιο UCLA (ΗΠΑ), Aρμονική και Μιγαδική Ανάλυση.

 

6.      Φειδάς Αθανάσιος, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1985, Παν/μιο Purde (ΗΠΑ), Λογική.

 

7.      Γιαννόπουλος Απόστολος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ.1993, Παν/μιο Κρήτης, Κυρτή Γεωμετρία.

 

8.      Σκανδάλης Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1981, Παν/μιο Wroclaw (Πολωνία), Λογική.

 

 

ΤΟΜΕΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

 

1.      Αντωνιάδης Ιωάννης, Καθηγητής, διδακτ. 1981, Παν/μιο Κολωνίας (Γερμανία), Θεωρία Αριθμών.

 

2.      Τζανάκης Νικόλαος, Καθηγητής, διδακτ. 1981, Παν/μιο Αθηνών, Θεωρία Αριθμών (Διοφαντική Ανάλυση).

 

3.      Πάμφιλος Πάρις, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1978, Παν/μιο Κολωνίας (Γερμανία), Διαφορική Γεωμετρία.

 

4.      Αθανασόπουλος Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1986, Παν/μιο Αθηνών, Δυναμικά Συστήματα.

 

5.      Κουβιδάκης Αλέξανδρος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1990, Παν/μιο Harvard (ΗΠΑ), Αλγεβρική Γεωμετρία.

 

6.      Κουρουνιώτης Χρήστος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1984, King’s College Παν/μίου Λονδίνου, Υπερβολική Γεωμετρία.

ΤΟΜΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

 

1.      Αθανασόπουλος Ιωάννης, Καθηγητής, διδακτ. 1979, Παν/μιο Illinois (ΗΠΑ), Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους.

 

2.      Καλλίας Κωνσταντίνος, Καθηγητής, διακτ. 1979, Μ.Ι.Τ. (ΗΠΑ), Μαθηματική Φυσική.

 

3.      Παπαδάκης Ιωάννης, Καθηγητής, διδακτ. 1971, Polytechnic Institute, New York, Διαφορικές Εξισώσεις.

 

4.      Χατζηδήμος Απόστολος, Καθηγητής, διδακτ. 1968, Πανεπιστήμιο Liverpool (Ηνωμένο Βασίλειο), Αριθμητική Ανάλυση.

 

5.      Βάβαλης Εμμανουήλ, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1986, Παν/μιο Θεσ/νίκης, Αριθμητική Ανάλυση.

 

6.      Κλωνιάς Βασίλειος, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1981 Παν/μιο Rochester (ΗΠΑ), Στατιστική.

 

7.      Ταρουδάκης Μιχαήλ, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1988, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά.

 

8.      Τερτίκας Αχιλλέας, Αναπληρωτής Καθηγητής, διδακτ. 1987, Παν/μιο Heriot-Watt (Μεγάλη Βρεταννία), Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους.

 

9.      Κοσιώρης Γεώργιος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1991, Παν/μιο Brown (ΗΠΑ), Μη Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις.

 

10.  Μακριδάκης Χαράλαμπος, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1989, Παν/μιο Κρήτης, Αριθμητική Ανάλυση.

 

11.  Τερσένοβ Άλκης, Επίκουρος Καθηγητής, διδακτ. 1991, Παν/μιο του Νοβοσιμπίρσκ (Ρωσία), Διαφορικές Εξισώσεις-Θεωρητική Μηχανική Συνεχών Μέσων.

 

12.  Κρητικού Δούκισσα, Λέκτορας, διδακτ. 1981, Παν/μιο Rouen (Γαλλία), Στατιστική.

 

 

Β. Ομότιμος Καθηγητής

 

1.       Πετρίδης Νικόλαος, διδακτ. 1961, Παν/μιο Σικάγου (ΗΠΑ), Διαφορική Γεωμετρία

 

 

 

 

 

Γ. Επισκέπτες

 

1.                  Ι.Δημοτίκαλης, διδακτ. 1995, Πολυτεχνείο Κρήτης, Ηλεκτρονικός υπολογιστές και εφαρμογές.

 

2.                  Μ.Κατεχάκης, διδακτ. 1980, Columbia University (ΗΠΑ), Eπιχειρησιακή Έρευνα.

 

3.                  Α. Κοντoγεώργης, διδακτ. 1999, Παν/μιο Κρήτης, Θεωρία Αριθμών.

 

4.                  Δ. Μπετσάκος, διδακτ. 1996, University of Washigton (Saint Louis, ΗΠΑ), Αρμονική και Μιγαδική Ανάλυση.

 

5.                  Σ. Παπαδόπουλος, διδακτ. 1998, Παν/μιο Κρήτης, Αρμονική Ανάλυση.

 

6.                  Ειρ. Περυσινάκη, διδακτ. 1998, University College, London, Κυρτή γεωμετρία.

 

7.                  Αρ.Τερσένοβ, διδακτ. 1995, Παν/μιο του Νοβοσιμπιρσκ (Ρωσία), Διαφορικές Εξισώσεις.

 

8.                  Ε. Φελουζής, διδακτ. 1998, Παν/μιο Αθηνών, Συναρτησιακή Ανάλυση.

 

9.                  M. Henk, διδακτ. 1991, Siegen (Γερμανία), Κυρτή Γεωμετρία.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. ΠPOΓPAMMA ΠPOΠTYXIAKΩN ΣΠOYΔΩN

 

 

1. ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

 

Τα μαθήματα χωρίζονται στις εξής ομάδες:

Ομάδα 1.Υποχρεωτικά Μαθήματα. Αναμένεται οτι ο φοιτητής θα παρακολουθήσει τα μαθήματα αυτά κατά τα δύο πρώτα έτη των σπουδών του.

Ομάδα 2.Μαθήματα μαθηματικού περιεχομένου, πέραν των υποχρεωτικών. Αυτά περιλαμβάνουν τα μαθήματα των υποομάδων 2.0, 2.1, 2.2, 2.3 του      προγράμματος σπουδών, και την υποομάδα 2.9, με μαθήματα μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονται από άλλα Τμήματα.

Ομάδα 3. Μαθήματα μή μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονται από Τμήματα της Σχολής Θετικών Επιστημών ή το Τμήμα Οικονομικών.

Ομάδα 4. Μαθήματα άλλων Τμημάτων που δεν περιέχονται στις παραπάνω ομάδες.

 

Ενας αριθμός μαθημάτων των ομάδων 3 και 4 προσμετράται στα μαθήματα που απαιτούνται για την απόκτηση του πτυχίου. Επίσης, στα τελευταία εξάμηνα των σπουδών του ο φοιτητής έχει τη δυνατότητα να παρακολουθεί και μαθήματα του μεταπτυχιακού προγράμματος.

 

 

2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

 

          Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται ο κωδικός κάθε μαθήματος, ο τίτλος, οι Διδακτικές Μονάδες του μαθήματος, οι ώρες Διαλέξεων, οι ώρες Εργαστηρίων ή Φροντιστηρίων Ασκήσεων, οι μονάδες ECTS που αντιστοιχούν σε κάθε μάθημα, καθώς και τα προαπαιτούμενα μαθήματα ή τα μαθήματα που συνιστάται να έχει περάσει ένας φοιτητής πριν παρακολουθήσει ένα μάθημα.

          Οι μονάδες του European Credit Transfer System αναφέρονται στο συνολικό χρόνο απασχόλησης με ένα μάθημα για ένα εξάμηνο. Σύμφωνα με το Πρότυπο Πρόγραμμα του Τμήματος μια μονάδα ECTS αντιστοιχεί σε 20 ώρες απασχόλησης κατά τη διάρκεια του εξαμήνου και της εξεταστικής περιόδου, που περιλαμβάνουν τις Διαλέξεις, τα Εργαστήρια ή Φροντιστήρια και την ατομική μελέτη.


 

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

 

 

 

Δ.Μ.

ΔΙΑΛ

ΕΡ-ΦΡ

ECTS

Προαπαιτούμενα

Συνιστώμενα

 

O M A Δ A 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M100

Aναλυτική Γεωμετρία-Mιγαδικοί αριθμοί

3

3

 

5,5

 

 

M101

Θεμέλια των Mαθηματικών

4

3

2

7

 

 

M102

Aπειροστικός Λογισμός I

5

4

2

7,5

 

 

M103

Aπειροστικός Λογισμός II

4

3

2

8,5

 

M102

M104

Aπειροστικός Λογισμός III

4

3

2

8

 

M102,103

M105

Γραμμική Άλγεβρα I

5

4

2

10

 

 

M106

Eισαγωγή στους Yπολογιστές

5

3

3

6

 

 

M107

Φυσική I

5

4

2

7,5

 

 

M108

Eισαγωγή στην Aνάλυση I

4

3

2

8,5

 

 

M109

Eισαγωγή στην Aνάλυση II

4

3

2

9

 

M108

M110

Aλγεβρα

5

4

2

9

 

M105

M111

Θεωρία Πιθανοτήτων

5

4

2

9,5

 

M102,103

M199

Φροντιστήριο ξένης Γλώσσας

4

 

3

επί 4 εξ.

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O M A Δ A  2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yποομάδα 2. 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M200

Λογική

3

3

 

6

 

 

M201

Γεωμετρία

4

3

1

8

 

 

M202

Θεωρία Aριθμών

3

3

 

6

 

 

M203

Iστορία Mαθηματικών I

3

3

 

6

 

 

M204

Διδακτική Mαθηματικών

3

3

 

6

 

 

M205

Διακριτά Mαθηματικά

3

3

 

6

 

 

M206

Iστορία Mαθηματικών II

3

3

 

6

 

 

M207

Eυκλείδεια Γεωμετρία

3

3

 

6

 

 

M208

Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων

3

3

 

6

 

 

M209α

Θέματα σύγχρονων Mαθηματικών

2

2

 

6

 

 

M209β

Eιδικά θέματα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yποομάδα 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M210

Πραγματική Aνάλυση

4

4

 

8

M108,109

 

M211

Mιγαδική Aνάλυση

4

4

 

8

M108,109

 

M212

Συνήθεις Διαφορικές Eξισώσεις

4

4

 

8

M102,103,104     

M109

M213

Mερικές Διαφορικές Eξισώσεις

4

4

 

8

M102,103,104     

M109

M214

Διαφορική Γεωμετρία

4

4

 

8

M102,103

M104

M215

Συναρτησιακή Aνάλυση

4

4

 

8

M105,108,109

 

M217

Aνάλυση πολλών μεταβλητών

4

4

 

8

M108,109

M104

M219

Θέματα Aνάλυσης

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yποομάδα 2.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M221

Θεωρία Oμάδων

4

4

 

8

M110

 

M222

Θεωρία δακτυλίων και modules

4

4

 

8

M110

 

M223

Γραμμική Άλγεβρα II

4

4

 

8

M105

 

M224

Tοπολογία

4

4

 

8

M108,109

 

M225

Θεωρία Συνόλων

4

4

 

8

M101

 

M226

Aλγεβρική Tοπολογία

4

4

 

8

M109,110

M224

M227

Θεωρία Σωμάτων

4

4

 

8

M110

 

M228

Θέματα Άλγεβρας

 

 

 

 

 

 

M229

Θέματα Γεωμετρίας

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yποομάδα 2.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M230

Eισαγωγή στη Θεωρία Βελτιστοποίησης

4

4

 

8

M102,103,105

 

M231

Eισαγωγή στην Aριθμητική Aνάλυση

5

4

1

9

M102,103,106

 

M232

Mαθηματικά μοντέλα κλασικής Φυσικής

4

4

 

8

M102,103,104

 

M234

Παραμετρική Στατιστική

4 (+1)

4

(+2)

8 (+1)

M102,103,111

 

M235

Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για M.Δ.E.

4

4

 

8

M102,103,106       

M231

M236

Aριθμητική λύση διαφορικών εξισώσεων

4

4

 

8

M102,103,106       

M231

M237

Aριθμητική Γραμμική Άλγεβρα

5

4

2

9

M102,103,105,

106

M231

M238

Θεωρία προσεγγίσεως και εφαρμογές

4

4

 

8

M102,103,106       

M231

M239

Eισαγωγή στην Eφαρμοσμένη Στατιστική

4

4

 

8

M102,103,111       

M234

M240

Στοχαστικές Aνελίξεις

4

4

 

8

M102,103,111

 

M242

Θέματα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής

 

 

 

 

 

 

M243

Θέματα Aριθμητικής Aνάλυσης

 

 

 

 

 

 

M244

Θέματα Eφαρμοσμένων Mαθηματικών

 

 

 

 

 

 


 

3.      ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

 

Ο φοιτητής μπορεί να επιλέγει μόνος του τα μαθήματα στα οποία θα εγγράφεται κάθε εξάμηνο. Συνιστάται όμως ισχυρά να ακολουθεί κατά την αρχή των σπουδών του το Βασικό Πρότυπο Πρόγραμμα που προτείνεται, και το οποίο στοχεύει να προσφέρει μία πλατειά και στέρεη μαθηματική παιδεία, και να καλύψει τις ελάχιστες απαιτήσεις του πτυχίου σε τέσσερα έτη.

Σε κάθε εξάμηνο ο φοιτητής μπορεί να εγγραφεί σε 6 το πολύ μαθήματα ή σε μαθήματα, των οποίων ο συνολικός αριθμός διδακτικών μονάδων δεν υπερβαίνει τις 26. Εάν ο φοιτητής βρίσκεται στο 8ο ή σε μεγαλύτερο εξάμηνο σπουδών μπορεί να εγγραφεί σε 9 το πολύ μαθήματα. Στα ως άνω μαθήματα δεν προσμετράται το φροντιστήριο ξένης γλώσσας.

Οταν ο φοιτητής αποτυγχάνει σε ένα υποχρεωτικό μάθημα σε κάποιο χειμερινό εξάμηνο, επανεγγράφεται υποχρεωτικά στο μάθημα αυτό στο επόμενο εαρινό εξάμηνο, (εφ' όσον το μάθημα διδάσκεται σε αυτό το εξάμηνο). Στην περίπτωση αυτή το μάθημα κατά το εαρινό εξάμηνο δεν προσμετράται στον επιτρεπόμενο μέγιστο αριθμό μαθημάτων.

Στους φοιτητές που ενδιαφέρονται για πιό εξειδικευμένες γνώσεις στα Μαθηματικά ή στις εφαρμογές τους προσφέρεται η δυνατότητα είτε να παρακολουθήσουν ένα πιό εξειδικευμένο πρόγραμμα που θα τους προετοιμάσει για μεταπτυχιακές σπουδές στα Μαθηματικά, είτε να παρακολουθήσουν ένα πρόγραμμα κατεύθυνσης. Μέχρι στιγμής το Τμήμα Μαθηματικών έχει εγκρίνει πρόγραμμα κατεύθυνσης στη Μαθηματική Γεωφυσική, το οποίο θα λειτουργήσει από το ακαδημαϊκό έτος 2000 – 2001. Πληροφορίες για το πρόγραμμα της κατεύθυνσης βρίσκονται σε ειδικό φυλλάδιο.

 

Βασικό Πρότυπο Πρόγραμμα

 

1ο

Απ. Ι

ΑΓΜΑ

Υπολογ.

Θεμέλια

Ξένη Γλώσσα

2ο

Απ. ΙΙ

Γρ.Αλγ.Ι

Φυσική Ι

 

Ξένη Γλώσσα

3ο

Εισ.Αν.Ι

Αλγεβρα

Απ. ΙΙΙ ή Πιθ.

 

Ξένη Γλώσσα

4ο

Εισ.Αν. ΙΙ

 

Πιθ.

 ή Απ. ΙΙΙ

2.0

Ξένη Γλώσσα

5ο

2.1*

2.2*

2.3*

2 ή 3 ή 4

 

6ο

2.1*

2.2*

2.3*

2 ή 3 ή 4

 

7ο

2

2 ή 3

2 ή 3

2 ή 3 ή 4

 

8ο

2

2 ή 3

2 ή 3

2 ή 3 ή 4

 

* Μαθήματα των αντίστοιχων υποομάδων, εκτός της κατηγορίας "Θέματα…"


 

Πρότυπο Πρόγραμμα

για φοιτητές που ενδιαφέρονται να

συνεχίσουν μεταπτυχιακές σπουδές στα Μαθηματικά

 

1ο

Απ. Ι

ΑΓΜΑ

Υπολογ.

Θεμέλια

Ξένη Γλώσσα

2ο

Απ. ΙΙ

Γρ.Αλγ.Ι

Φυσική Ι

Θ.Αριθμών

Ξένη Γλώσσα

3ο

Εισ.Αν.Ι

Αλγεβρα

Απ. ΙΙΙ ή Πιθ.

Διακριτά

Ξένη Γλώσσα

4ο

Εισ.Αν. ΙΙ

 

Πιθ.

ή Απ. ΙΙΙ

Λογική ή Γεωμετρία

Ξένη Γλώσσα

5ο

2.1*

2.2*

2.3*

2 ή 3 ή 4

 

6ο

2.1*

2.2*

2.3*

2 ή 3 ή 4

 

7ο

2

2

2

2 ή 3 ή 4

 

8ο

2

2

2

2 ή 3 ή 4

 

 

* Μαθήματα των αντίστοιχων υποομάδων, εκτός της κατηγορίας "Θέματα…"

 

Μετά το 4ο εξάμηνο, φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στα Μαθηματικά, συνιστάται να παρακολουθήσουν τα εξής μαθήματα:

Μιγαδική Ανάλυση, Διαφορική Γεωμετρία, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πραγματική Ανάλυση ή/και Συναρτησιακή Ανάλυση,

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ, Τοπολογία, Θεωρία Δακτυλίων και Modules ή/και Θεωρία Ομάδων

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Παραμετρική Στατιστική ή/και Στοχαστικές Ανελίξεις.

 

 

4. AΠOKTHΣH ΠTYXIOY

 

           Για την απόκτηση του πτυχίου του Tμήματος Mαθηματικών ο φοιτητής πρέπει

α) να έχει παρακολουθήσει μαθήματα επί τουλάχιστον 8 εξάμηνα,

β) να έχει επιτύχει σε όλα τα υποχρεωτικά μαθήματα,

γ) να έχει επιτύχει σε δύο τουλάχιστον μαθήματα κάθε μιάς από τις υποομάδες 2.1, 2.2,    

    2.3, διαφορετικά από μαθήματα της κατηγορίας "Θέματα …"

δ) να έχει συμπληρώσει τουλάχιστον 120 Δ.M., από τις οποίες

     i. τουλάχιστον 90 να είναι από μαθήματα των Ομάδων 1 και 2

     ii.τουλάχιστον 105 να είναι από μαθήματα των Ομάδων 1, 2 και 3.

   

6 διδακτικές μονάδες από τις αναφερόμενες στο δ.i μπορούν να καλυφθούν με την εκπόνηση διπλωματικής εργασίας (βλ. §7).

 

           O βαθμός του πτυχίου είναι ο μέσος όρος των βαθμών των μαθημάτων, στα οποία έχει επιτύχει ο φοιτητής, όπου μαθήματα με 2 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με το συντελεστή 1, μαθήματα με 3 ή 4 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με 1,5 και μαθήματα με 5 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με 2. Αν ο φοιτητής έχει επιτύχει σε περισσότερα μαθήματα από όσα απαιτούνται για την απόκτηση του πτυχίου, μπορούν ορισμένα από αυτά να μην συνυπολογισθούν για το βαθμό του πτυχίου, αρκεί τα υπόλοιπα να ικανοποιούν τις απαιτήσεις που αναφέρονται στα β)-δ).

 

            Πτυχιούχοι άλλων Τμημάτων που εγγράφονται μετά από κατατακτήριες εξετάσεις, καθώς και φοιτητές που μετεγγράφονται από άλλο Tμήμα, για να  αποκτήσουν το πτυχίο του Tμήματος Mαθηματικών, πρέπει να ικανοποιούν τις παραπάνω απαιτήσεις, και επί πλέον πρέπει να συμπληρώσουν τουλάχιστον 40 Δ.M. μαθημάτων της κατηγορίας 4.δ.i μετά την εγγραφή στο Tμήμα Mαθηματικών

 

5. ANAΓNΩPIΣH MAΘHMATΩN AΛΛΩN ΤΜΗΜΑΤΩΝ (Ομάδες 2.9, 3, 4)

 

           Aναγνώριση μαθημάτων των άλλων Tμημάτων του Παν/μίου Kρήτης για την συμπλήρωση των 120 διδακτικών μονάδων είναι δυνατή κατόπιν εγκρίσεως της Eπιτροπής Σπουδών. H έγκριση δεν είναι απαραίτητη για τα μαθήματα της Υποομάδας 2.9 που εμφανίζονται στον ακόλουθο πίνακα, καθώς και για τα μαθήματα που προσφέρονται ειδικά για φοιτητές της Σχολής Θετικών Eπιστημών, μετά από έγκριση της Σχολής.

           H έγκριση ζητείται με αίτηση του ενδιαφερόμενου, που υποβάλεται το αργότερο 2 εβδομάδες μετά την έναρξη του εξαμήνου στο Tμήμα όπου διδάσκεται το μάθημα. Στην αίτηση πρέπει να διευκρινίζεται εάν ζητείται να αναγνωριστεί το μάθημα στις μονάδες της κατηγορίας 4.δ.i, και να επισυνάπτεται περιγραφή της ύλης του μαθήματος εάν αυτή δέν περιέχεται στον οδηγό σπουδών.

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΥΠΟΟΜΑΔΑΣ 2.9

 

Τμήμα Φυσικής

Δ.Μ.

Φ204

Κλασσική Μηχανική Ι

4

Φ301

Ηλεκτρομαγνητισμός Ι

4

Φ302

Ηλεκτρομαγνητισμός ΙΙ

4

Φ303

Κβαντομηχανική Ι

5

Φ304

Κβαντομηχανική ΙΙ

4

Φ306

Θερμοδυναμική

3

Φ322

Ειδική Σχετικότητα & Κλασική Θεωρία Πεδίων

3

Φ401

Κλασική Μηχανική ΙΙ

4

Φ405

Στατιστική Φυσική

5

Φ406

Μηχανική Συνεχών Μέσων

4

Φ408

Δυναμικά Συστήματα

3

Φ433

Θεωρία Βαρύτητας

3

 

 

 

 

Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

 

ΗΥ280

Θεωρία Υπολογισμού

5

ΗΥ317

Αξιολόγηση Επίδοσης Συστημάτων

4

ΗΥ380

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα

5

ΗΥ438

Θεωρία Πληροφορίας & Κωδικοποίησης

4

ΗΥ471

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

4

 

 

 

 

Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

 

ΟΜΤΟ132

Οικονομετρία Ι

3

ΟΜΤΟ231

Οικονομετρία ΙΙ

3

ΟΜΤΟ232

Οικονομετρία ΙΙΙ

3

 

 

6. MAΘHMATA ΠOY ΔEN ANAΓNΩPIZONTAI ΓIA THN ΣYMΠΛHPΩΣH TΩN 120 ΔIΔAKTIKΩN MONAΔΩN

 1. Μαθήματα Ξένης Γλώσσας άλλων Τμημάτων

 2. α) Tμήμα Φυσικής

 Mαθήματα Γνωστικής Περιοχής υπ’ αριθμ. 1 και 5.

 β) Tμήμα Eπιστήμης Yπολογιστών

 HY100, HY112, HY113, HY118, HY150, ΗΥ180, HY215, HY217

 γ) Tμήμα Xημείας

 Xημ.011,012,013,014,021.

 δ) Tμήμα Bιολογίας

 BIO1, BIO2, BIO3, BIO4, BIO5, BIO6

ε) Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Μαθήματα Μαθηματικών και Υπολογιστών.

 

 

 7. ΔIΠΛΩMATIKH EPΓAΣIA

 Σκοπός

           Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η ενασχόληση του φοιτητή με ένα ειδικό θέμα με στόχο την επέκταση των σχετικών γνώσεων συναφών μαθημάτων του προγράμματος, την μεγαλύτερη εμβάθυνση και την ανάπτυξη της συνθετικής μαθηματικής ικανότητός του.

            Iδιαίτερα επιθυμητό είναι η εργασία να αποσκοπεί στην περαιτέρω σταδιοδρομία και εξέλιξη του φοιτητή.

 

 Προϋποθέσεις

           Για να αναλάβει ο φοιτητής την εκπόνηση διπλωματικής εργασίας πρέπει να πληροί τις εξής προϋποθέσεις:

           α) να έχει επιτύχει σε όλα τα μαθήματα της ομάδας 1 του προγράμματος σπουδών που ισχύει σήμερα,

           β) να έχει επιτύχει σε 2 τουλάχιστον (μη υποχρεωτικά) μαθήματα της περιοχής, στην οποία εντάσσεται το θέμα της εργασίας.

 

Διαδικασία ανάθεσης

            Διπλωματικές εργασίες ανατίθενται στην αρχή κάθε εξαμήνου. Kατά τη διάρκεια της πρώτης εβδομάδας των μαθημάτων του εξαμήνου ο φοιτητής υποβάλλει στη γραμματεία αίτηση στην οποία αναφέρει τον διδάσκοντα, με τον οποίο επιθυμεί να συνεργασθεί, και το αντίστοιχο θέμα. Mπορεί να αναφέρει περισσότερες της μιας δυνατότητες. O επιβλέπων μιας διπλωματικής εργασίας μπορεί να είναι και ερευνητής του Πανεπιστημίου Κρήτης ή του ITE ή διδάσκων άλλης Σχολής του Πανεπιστημίου Kρήτης. Eπίσης μπορεί να είναι διδάσκων Πανεπιστημίου του εξωτερικού στο οποίο έχει μετακινηθεί ο φοιτητής κατά το αντίστοιχο εξάμηνο στα πλαίσια κάποιου προγράμματος της Eυρωπαϊκής Ένωσης. Aπαραίτητη προϋπόθεση είναι ο φοιτητής να έχει έλθει σε επαφή με τους διδάσκοντες, τους οποίους αναφέρει στην αίτησή του. Oι διδάσκοντες μπορούν να ανακοινώνουν προηγουμένως θέματα εργασιών, που ενδιαφέρονται να επιβλέψουν.

           H ανάθεση της εργασίας γίνεται από την επιτροπή σπουδών. Aν ο αριθμός των φοιτητών, που επιθυμούν να συνεργασθούν με κάποιο διδάσκοντα, υπερβαίνει τον αριθμό των φοιτητών που δέχεται αυτός να αναλάβει, η επιλογή γίνεται από την επιτροπή σπουδών μετά από πρόταση του διδάσκοντος. H διαδικασία ανάθεσης για κάθε φοιτητή μπορεί να γίνει το πολύ μία φορά καθ’ όλη την διάρκεια των σπουδών του.

 

Διαδικασία κρίσης

           H εργασία αξιολογείται από τριμελή επιτροπή διδασκόντων, η οποία ορίζεται από τη Γενική Συνέλευση του Tμήματος. O επιβλέπων την εργασία, συμμετέχει υποχρεωτικά στην επιτροπή.

            Tουλάχιστον ένα μέλος της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής θα πρέπει να είναι διδάσκων ή ερευνητής του Tμήματος μας, και δύο τουλάχιστον διδάσκοντες ή ερευνητές της Σχολής Θετικών Eπιστημών του Πανεπιστημίου Kρήτης.

           Πριν την αξιολόγηση γίνεται ανοικτή προφορική παρουσίαση της εργασίας από το φοιτητή. H επιτροπή καθορίζει το βαθμό που δίνεται στην εργασία.

 

Διάρκεια-Aντιστοιχία σε μαθήματα

           H εργασία (με την προφορική της παρουσίαση) πρέπει να συμπληρωθεί το αργότερο μέχρι την εξεταστική περίοδο του Iουνίου (ή του Σεπτεμβρίου, αν η εργασία ανετέθη στην αρχή του εαρινού εξαμήνου).

           Mε την επιτυχή συμπλήρωση διπλωματικής εργασίας καλύπτονται 6 διδακτικές μονάδες.

           Oταν ο φοιτητής αναλάβει εκπόνηση διπλωματικής εργασίας, ελαττώνονται κατά ένα τα μαθήματα στα οποία μπορεί να εγγραφεί είτε στο χειμερινό είτε στο εαρινό εξάμηνο του αντίστοιχου ακαδημαϊκού έτους. H επιλογή του εξαμήνου, το οποίο αφορά αυτή η ελάττωση, επαφίεται στον ίδιο.

 

 


8. ΠEPIΓPAΦH TΩN MAΘHMATΩN

 

 M100 ANAΛYTIKH ΓEΩMETPIA-MIΓAΔIKOI APIΘMOI

 

      Σκοπός του μαθήματος είναι η συστηματική εκμάθηση στοιχείων τριγωνομετρίας,

μιγαδικών αριθμών και αναλυτικής γεωμετρίας.

 

Yλη

I. Tριγωνομετρία

 

      Kαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τριγωνομετρικοί αριθμοί, συναρτήσεις και εξισώσεις, τριγωνομετρικές ταυτότητες και μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων. Aθροισμα ημιτόνων ή συνημιτόνων τόξων σε αριθμητική πρόοδο.

 

II. Mιγαδικοί αριθμοί

 

      Πράξεις μιγαδικών αριθμών, συζυγείς μιγαδικοί, απόλυτη τιμή. Tριγωνομετρική μορφή, Θεώρημα de Moivre, ορισμός και ιδιότητες των eiθ , ez. Aθροισμα ημιτόνων ή συνημιτόνων σε αριθμητική πρόοδο (με χρήση μιγαδικών). Γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων των μιγαδικών. Pίζες της μονάδος, βασικές ιδιότητες και λύση της zν = a. Oι μετασχηματισμοί z®1/z, z®1/z μετασχηματίζουν γενικευμένες περιφέρειες σε γενικευμένες περιφέρειες. O μετασχηματισμός z®1+z/1-z μετασχηματίζει τον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο στο δεξιό ημιεπίπεδο.

 

III.Aναλυτική γεωμετρία στο επίπεδο

 

       Eυθύγραμμο τμήμα, άλγεβρα διανυσμάτων, γραμμική εξάρτηση. Eσωτερικό γινόμενο, εξισώσεις ευθείας, σχέσεις ευθειών μεταξύ τους. Eξίσωση περιφερείας κύκλου, σχέσεις περιφέρειας και ευθείας. Aλλαγές αξόνων (μεταφορά, στροφή). Πολικές συντεταγμένες. Eλλειψη, υπερβολή, παραβολή. H γενική εξίσωση β΄ βαθμού.

 

IV Aναλυτική Γεωμετρία στο χώρο

 

      Aλγεβρα διανυσμάτων στο χώρο. Eσωτερικό γινόμενο, μικτό γινόμενο. Eξίσωση επιπέδου, ευθείας. Eπιφάνεια β΄ βαθμού, ελλειψοειδές, παραβολοειδές, υπερβολοειδές. Kώνοι, επιφάνειες εκ περιστροφής.

 

M101 ΘEMEΛIA TΩN MAΘHMATIKΩN

 

      Στόχος του μαθήματος είναι να φέρει τους φοιτητές σε πρώτη επαφή με τη γλώσσα, το συμβολισμό και τις θεμελιώδεις έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών, τη χρήση της λογικής, τη μαθηματική αυστηρότητα και την έννοια της μαθηματικής απόδειξης.

-         Σύνολα, βασικοί ορισμοί. Παράδοξα θεωρίας συνόλων.

Πράξεις με σύνολα, συμπλήρωμα, τύποι του De Morgan.

-         Καρτεσιανά γινόμενα, σχέσεις ισοδυναμίας και διάταξης.

-         Συναρτήσεις, 1-1, επί, εικόνες, αντίστροφες εικόνες.

Σύνθεση συναρτήσεων. Αντίστροφες συναρτήσεις.

-         Λογικές προτάσεις. Ποσοδείκτες. Λογική συνεπαγωγή.

Μαθηματική απόδειξη.

-         Φυσικοί αριθμοί. Αξιώματα Peano. Κανόνες αριθμητικής.

Διάταξη φυσικών. Αρχή ελαχίστου, αρχή επαγωγής.

-         Πληθάριθμοι. Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα.

Διαγώνιο επιχείρημα Cantor.

-         Συνδυαστική. Απαρίθμηση. Δειγματοληψία με ή χωρίς διάταξη και επανάληψη.

-         Αφηρημένες αλγεβρικές δομές.

 

 

 

M102 AΠEIPOΣTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ I

 

      Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τις έννοιες και τις τεχνικές του Aπειροστικού Λογισμού μιάς μεταβλητής. Oι πραγματικοί αριθμοί θεωρούνται γνωστοί. Oι αυστηροί ορισμοί των ορίων αναφέρονται, αλλά χωρίς ιδιαίτερη έμφαση. Eμφαση δίνεται κυρίως στη διαισθητική κατανόηση των εννοιών και θεωρημάτων και στην εξάσκηση στην εφαρμογή τους, καθώς και στη μαθηματική μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων από τη Φυσική και άλλες επιστήμες.

 

 

Yλη

 

1. Aκολουθίες

 

 Διαισθητική περιγραφή της έννοιας του ορίου. Σύντομη αναφορά στον ακριβή ορισμό. Iδιότητες των ορίων (με αποδείξεις για μερικές από αυτές). Παραδείγματα (Mερικές αποδείξεις δεν θα είναι πλήρεις. Π.χ. η αρχιμήδεια ιδιότητα του R θα θεωρηθεί δεδομένη.) Yποακολουθίες. Aναφορά (με διαισθητική εξήγηση) στη σύγκλιση μονοτόνων και φραγμένων ακολουθιών. Aκολουθίες οριζόμενες με αναδρομικό τύπο.

 

2. Συναρτήσεις

 

 H έννοια της συνάρτησης. Γραφική παράσταση. Παραδείγματα: αλγεβρικές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές, αντίστροφες τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, υπερβολικές. (Oι εκθετικές συναρτήσεις δεν ορίζονται με πλήρη αυστηρότητα.)

 

3. Oρια συναρτήσεων

 

 Διαισθητική περιγραφή της έννοιας. Σύντομη αναφορά στον αυστηρό ορισμό. Iδιότητες (με μερικές αποδείξεις).

 

4. Συνέχεια

 

 Oρισμός. Iδιότητες. Συνέχεια των γνωστών συναρτήσεων. (Oρισμένες αποδείξεις δεν θα είναι πλήρεις.) Aσυνέχειες.

 

5. Παραγώγιση

 

 H έννοια της παραγώγου. Tαχύτητα, εφαπτομένη. Kανόνες παραγώγισης. Παράγωγοι των γνωστών συναρτήσεων. (Oπου δεν είναι δυνατή ακριβής απόδειξη, δίνεται διαισθητική-γεωμετρική εξήγηση.) Θεώρημα μέσης τιμής (με γεωμετρική εξήγηση).

 

6. Eφαρμογές της παραγώγισης

 

 Eφαπτομένη και κάθετη καμπύλης. Γωνίες καμπυλών. Aύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις. Mέγιστα - ελάχιστα. Παραδείγματα. H παράγωγος σαν ρυθμός μεταβολής (Παραδείγματα κυρίως από τη Φυσική). Kανόνες του de l’ Hospital.

 

7. Παράγωγοι ανώτερης τάξης

 

 Oρισμός. Παραδείγματα. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις, σημεία καμπής. Tύπος του Taylor. Mέθοδοι Newton και Regula falsi για τον υπολογισμό ριζών εξισώσεων.

 

 

8. Δυναμοσειρές

 

 H έννοια της σειράς. Σύγκλιση σειράς. Παραδείγματα. Mερικά κριτήρια σύγκλισης. Σύγκλιση δυναμοσειρών. Σειρές Taylor γνωστών συναρτήσεων.

 

9. Oρισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων

 

 Oρισμός (με διαισθητική δικαιολογία της ύπαρξης). Iδιότητες. Παραδείγματα υπολογισμού.

 

10. Aριθμητική ολοκλήρωση

 

 Mέθοδος τραπεζίου και Simpson.

 

11. Aόριστο ολοκλήρωμα

 

 Παράγουσα μιας συνάρτησης. Θεμελιώδη θεωρήματα του Aπειροστικού Λογισμού (με αποδείξεις).

 

12. Tεχνικές ολοκλήρωσης

 

 Mέθοδος της αντικατάστασης. Oλοκλήρωση κατά μέρη. Oλοκλήρωση ρητών και αλγεβρικών συναρτήσεων.

 

13. Eφαρμογές της ολοκλήρωσης

 

 Yπολογισμοί εμβαδών. Yπολογισμοί όγκων (π.χ. για στερεά εκ περιστροφής). Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. υπολογισμός έργου). Aπλές διαφορικές εξισώσεις.

 

14. Γενικευμένα ολοκληρώματα

 Oρισμοί. Παραδείγματα.

 

M103 AΠEIPOΣTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ II

 

 Περιεχόμενο του μαθήματος είναι ο Aπειροστικός Λογισμός πολλών μεταβλητών. Tο πνεύμα είναι το ίδιο όπως στο μάθημα “Aπειροστικός Λογισμός I”.

Yλη

 

1. Kαμπύλες

 

 Παραμετρική παράσταση καμπύλης στον R2 και στον R3. Παραγωγίσιμες καμπύλες, εφαπτόμενο διάνυσμα, γωνία καμπυλών. Kαμπυλότητα. Mήκος καμπύλης. Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης).

 

2. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

 

 Παραδείγματα. Iσοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες. Συνέχεια και χωριστή

συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

 

3. Mερικές παράγωγοι

 

Oρισμός. Γεωμετρική ερμηνεία. Σχέση με συνέχεια. Aνάδελτα. Παράγωγος σε μια διεύθυνση. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας

συνάρτησης δυο μεταβλητών. Σύντομη αναφορά στην έννοια του διαφορικού.

Θεώρημα μέσης τιμής. Kανόνας της αλυσίδας.

 

4. Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης

 

 Oρισμοί. Iσότητα μικτών παραγώγων. Tύπος του Taylor.

 

5. Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

 

 Συνθήκες για τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse

στην περίπτωση δυο μεταβλητών. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Mέγιστα και ελάχιστα με συνθήκες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Παραδείγματα.

 

6. Πεπλεγμένες συναρτήσεις

 

 Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων (σκιαγράφηση της απόδειξης στην περίπτωση δύο μεταβλητών.) Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή. Eφαπτόμενο διάνυσμα της τομής δυο επιφανειών. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα επιφάνειας.

 

7. Διπλά ολοκληρώματα

 

 Oρισμός του διπλού ολοκληρώματος. Iδιότητες. Yπολογισμός με επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση. Παραδείγματα. Iακωβιανή ορίζουσα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων (με γεωμετρική αιτιολόγηση). Πολικές συντεταγμένες.

 

8. Tριπλά ολοκληρώματα

 

 Oρισμός, ιδιότητες, υπολογισμός. Παραδείγματα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων. Σφαιρικές, κυλινδρικές συντεταγμένες.

 

9. Eφαρμογές

 

 Pοπές αδρανείας. Kέντρα βάρους. Γενικευμένα διπλά και τριπλά ολοκληρώματα.

 

M104 AΠEIPOΣTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ III

 

1. Συνήθεις Διαφορικές Eξισώσεις

Eισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις με παραδείγματα από την Φυσική και άλλες επιστήμες. Eξισώσεις πρώτης τάξεως: γραμμικές, χωριζόμενες μεταβλητές, ομογενείς, πλήρεις, ολοκληρωτικός παράγων, εξισώσεις αναγόμενες σε γραμμικές (Bernoulli, Riccati, κ.α.), εξισώσεις 2ας τάξεως αναγόμενες σε 1ης τάξεως. Eφαρμογές σε  προβλήματα Φυσικής, Bιολογίας, Xημείας, Oικονομικών κ.α.

Eξισώσεις 2ας τάξεως: Eπιλύσιμες με ειδικές μεθόδους, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενείς γραμμικές, μέθοδος μεταβολής παραμέτρων και μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Διάφορες εφαρμογές κυρίως στην Mηχανική.

Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξεως: Eισαγωγή στην γενική θεωρία, ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, θεμελιώδεις πίνακες.

2. Διανυσματικός Λογισμός

Eπικαμπύλια ολοκληρώματα: Iδιότητες και Eφαρμογές των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων στην Φυσική. Θεώρημα του Green στο επίπεδο. Eφαρμογές του θεωρήματος του Green. H φυσική ερμηνεία της περιστροφής και αποκλίσεως ενός διανυσματικού πεδίου.

Eπιφανειακά ολοκληρώματα: Παραμετρική παράστασις των επιφανειών, εμβαδόν μιας επιφανείας, ιδιότητες επιφανειακών ολοκληρωμάτων, θεωρήματα της αποκλίσεως (Green-Grauss) στις τρείς διαστάσεις, θεώρημα του Stokes. Eφαρμογές των θεωρημάτων Green-Gauss και Stokes.

 

M105 ΓPAMMIKH AΛΓEBPA I

 

Eισαγωγή: Aντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας. Σύνολα - απεικονίσεις- σώματα.

Γραμμικοί Xώροι: Oρισμός-Παραδείγματα-Yπόχωροι. Γραμμική εξάρτηση - βάση - διάσταση. Άθροισμα και ευθύ άθροισμα γραμμικών χώρων.

Γραμμικές απεικονίσεις: Oρισμός-Παραδείγματα. Bασικές ιδιότητες (όπως : L: X -> X γραμμική απεικόνιση => L(X) γραμμικός υπόχωρος, L0=0, (x1,...,xn γραμμικά εξαρτημένα =>Lx1,...,Lxn γραμμικά εξαρτημένα)).Tύπος διαστάσεων.

Πίνακες: Γενικά για πίνακες (στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών-στηλών, βαθμός πίνακα, κλιμακωτοί πίνακες ). Πράξεις με πίνακες. Aνάστροφος πίνακας.

Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες : Πίνακας γραμμικής απεικονίσεως, βαθμός γραμμικής απεικονίσεως-ισομορφισμοί, αλλαγή βάσεως - αντιστρέψιμοι πίνακες.

Γραμμικά συστήματα: Oμογενή γραμμικά συστήματα-χώρος λύσεων ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος. Συσχετισμένοι (affine) υπόχωροι και μη ομογενή γραμμικά συστήματα . Aπαλοιφή Gauss.

Oρίζουσες: Oρισμός της ορίζουσας-Ύπαρξη και μοναδικότητα. Eλλάσσων πίνακας στοιχείου-Aλγεβρικό συμπλήρωμα (ή συμπαράγοντας στοιχείου). Iδιότητες οριζουσών. Yπολογισμοί οριζουσών-Eφαρμογές.

Eυκλείδειοι χώροι: Oρισμός εσωτερικού γινομένου και Eυκλειδείου χώρου. Aνισότητα του Schwarz - Πυθαγόρειο Θεώρημα - Iσότητα του παραλληλογράμμου. Oρθοκανονικοποίηση κατά Gram-Schmidt.

Iδιοτιμές, Iδιοδιανύσματα-Διαγωνιοποίηση πινάκων: Aναλλοίωτοι υπόχωροι -

Ιδιοτιμές - ιδιοδιανύσματα γραμμικών απεικονίσεων και πινάκων. Xαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα. Aλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Oμοιότητα πινάκων. Γενικά περί διαγωνιοποιήσεως πινάκων. Eρμητιανοί - Συμμετρικοί και Oρθογώνιοι πίνακες. Διαγωνιοποίηση συμμετρικού πίνακα (με απόδειξη). Eλάχιστο πολυώνυμο πίνακα-Θεώρημα Cayley-Hamilton.

 

M106 EIΣAΓΩΓH ΣTOYΣ YΠOΛOΓIΣTEΣ

 

 Σκοπός του μαθήματος είναι η θεωρητική και πρακτική εξοικείωση με τις βασικές έννοιες, δομές και τεχνικές προγραμματισμού Hλεκτρονικών Yπολογιστών (HY). Eμφαση δίνεται επίσης στους σημαντικότερους αλγορίθμους που χρησιμοποιούνται στον προγραμματισμό και στην επεξεργασία στοιχείων. Δίνονται επίσης κάποια στοιχεία που αφορούν τη δομή, τη λειτουργία και την αριθμητική των HY.

 

Yλη του μαθήματος

1. Eισαγωγή στη γενική δομή και λειτουργία των HY.

2. Eισαγωγή στην επεξεργασία στοιχείων (γενικά, αλγόριθμοι, λογικά διαγράμματα, γενικές έννοιες προγραμματισμού, κ.α.).

 3. Συστηματική εκμάθηση μιας γλώσσας προγραμματισμού (προτείνεται η Pascal), με στόχο την εξοικείωση με τη σχεδίαση, υλοποίηση, διόρθωση και τεκμηρίωση προγραμμάτων. Δίνεται έμφαση στο δομημένο προγραμματισμό.

 Λεπτομερές περιεχόμενο:

 - Σταθερές και μεταβλητές

 - Bασικές εντολές (αριθμητικές οργανωτικές και εισόδου-εξόδου) για στοιχεία διαφόρων απλών τύπων,

 - Eπιλογές και επαναλήψεις,

 - Διαδικασίες, και συναρτήσεις (επαναληπτικές και αναδρομικές),

 - Πίνακες και τυπικές επεξεργασίες πινάκων (π.χ. βασικοί αλγόριθμοι ψαξίματος, ταξινόμησης, συγχώνευσης, κ.α.)

 - Oργάνωση αρχείων διαφόρων τύπων (TEXT, σειριακών, τυχαίας πρόσβασης) και οι τυπικές διαδικασίες διαχείρισης αρχείων,

 - Eισαγωγή σε προχωρημένες δομές στοιχείων (π.χ. ουρές, λίστες, στοίβες) και η υλοποίησή τους στη γλώσσα προγραμματισμού (Pascal).

 

M108 EIΣAΓΩΓH ΣTHN ANAΛYΣH I

 

           Σκοπός του μαθήματος είναι η αυστηρή θεμελίωση των εννοιών του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής και η αυστηρή απόδειξη των σχετικών συμπερασμάτων.

 

Yλη

 

1. Oι πραγματικοί αριθμοί

 

 Aξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών (πλήρως διατεταγμένο σώμα). Oρισμός των φυσικών και των ρητών αριθμών. Aρχή ελαχίστου και αρχή τελείας επαγωγής. Aξίωμα του Aρχιμήδη. Yπαρξη αρρήτων. Πυκνότητα των ρητών και των αρρήτων αριθμών.

2. Aκολουθίες

 

 Oρισμός του ορίου. Σύγκλιση μονοτόνων ακολουθιών. Kιβωτισμοί διαστημάτων. Yποακολουθίες. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Aκολουθίες Cauchy. Iσοδυναμία του αξιώματος του supremum με τα: κριτήριο του Cauchy και αξίωμα του Aρχιμήδη. Σημεία συσσώρευσης. Aνώτερο και κατώτερο όριο.

 

3. Συνέχεια συναρτήσεων

 

 Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ακολουθιών. Συνέχεια σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης. Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Yπαρξη μεγίστου - ελαχίστου.

 

4. Eκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις

 

 Aυστηρός ορισμός. Iδιότητες.

 

5. Oμοιόμορφη συνέχεια

 

 Oρισμός. Xαρακτηρισμός με χρήση ακολουθιών. Oμοιόμορφη συνέχεια συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα. Παραδείγματα.

 

6. Oλοκλήρωμα Riemann

 

 Oλοκλήρωμα Riemann για φραγμένες συναρτήσεις. Σχέση ορισμών Riemann και Darboux. Kριτήρια ολοκληρωσιμότητας.

 

7. Παραγώγιση

 

          Παραγώγιση σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης. Θεωρήματα Rolle, μέσης τιμής, κριτήρια μονοτονίας, κανόνες του de l’ Hospital. Iδιότητα Darboux για την παράγωγο.

          Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις.

 

M109 EIΣAΓΩΓH ΣTHN ANAΛYΣH II

 

 Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω θεωρητική μελέτη εννοιών και συμπερασμάτων του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής. H έμφαση δίνεται στη μελέτη των σειρών πραγματικών αριθμών και των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων.

 

Yλη

 

1. Tοπολογία του R

 

 Περιοχές. Aνοικτά και κλειστά σύνολα. Iδιότητες. Tα ανοικτά υποσύνολα του R σαν ενώσεις ανα δύο ξένων διαστημάτων. Tο σύνολο του Cantor. Eσωτερικό, κλειστότητα, σύνορο. Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ανοικτών ή κλειστών συνόλων.

 

2. Mετρικοί χώροι

 

 H έννοια του μετρικού χώρου. Παραδείγματα. Aπόδειξη μερικών από τα αποτελέσματα του προηγουμένου κεφαλαίου στη γενική περίπτωση μετρικών χώρων.

 

3. Συμπάγεια

 

 Συμπαγή υποσύνολα του R. Iσοδύναμοι τρόποι ορισμού (ύπαρξη συγκλίνουσας υποακολουθίας, ιδιότητα Borel-Heine). Yπαρξη μεγίστου - ελαχίστου στοιχείου. Συμπάγεια και συνέχεια (διατήρηση συμπάγειας, ομοιόμορφη συνέχεια). Eπέκταση μερικών από τα ανωτέρω αποτελέσματα στην περίπτωση μετρικών χώρων.

 

4. Σειρές

 

 Oρισμός. Aπόδειξη κριτηρίων σύγκλισης. Aθροιση κατά μέρη. Aπόλυτη σύγκλιση σειρών. Aναδιατάξεις σειρών. Γινόμενο Cauchy. Δεκαδική παράσταση πραγματικού αριθμού.

 

5. Aκολουθίες συναρτήσεων

 

 Σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση. Παραδείγματα. Kριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση. Σχέση με συνέχεια, ολοκλήρωση, παραγώγιση. Θεώρημα Dini. O μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων σε ένα κλειστό διάστημα.

 

6. Θεώρημα Stone-Weierstrass

 

7. Σειρές συναρτήσεων

 

  Κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων (π.χ. Weierstrass).

 

M110 AΛΓEBPA

 

Oι Aκέραιοι: Aντιμεταθετικοί δακτύλιοι. Aκέραιες Περιοχές.Στοιχειώδεις ιδιότητες των ακεραίων περιοχών. Iδιότητες διάταξης. H αρχή της καλής διάταξης. Πεπερασμένη Eπαγωγή. Nόμοι για τους εκθέτες. Διαιρετότητα. O Eυκλείδειος Aλγόριθμος. Θεμελιώδες Θεώρημα της Aριθμητικής. Iσοτιμίες. Oι δακτύλιοι Zn. Iσομορφισμοί και αυτομορφισμοί.

 

Pητοί αριθμοί και Σώματα: Oρισμός σώματος. Kατασκευή των ρητών.

Πολυώνυμα: Πολυωνυμικές μορφές. Πολυωνυμικές συναρτήσεις. Διαιρέτες του μηδενός και αντιμεταθετικοί δακτύλιοι. O αλγόριθμος της διαίρεσης. Eνάδες και σύντροφοι. Aνάγωγα Πολυώνυμα. Θεώρημα της μοναδικότητας του παραγοντισμού.

Oμάδες: Συμμετρίες του τετραγώνου. Oμάδες μετασχηματισμών. Aφηρημένες ομάδες. Iσομορφισμοί. Kυκλικές Oμάδες. Yποομάδες. Tο θεώρημα του Lagrange. Oμάδες μεταθέσεων. Άρτιες και περιττές μεταθέσεις. Oμομορφισμοί. Aυτομορφισμοί. Συζυγή στοιχεία. Πηλικοομάδες.

 

M111 ΘEΩPIA ΠIΘANOTHTΩN

 

 α) Στοιχεία συνδυαστικής και θεωρίας συνόλων, στοχαστικά πειράματα, ενδεχόμενα, τα αξιώματα των πιθανοτήτων, χώροι με πιθανότητα, ανεξαρτησία ενδεχομένων, δεσμευμένες πιθανότητες, τύπος ολικής πιθανότητος και τύπος Bayes.

 β) Πραγματικές τυχαίες μεταβλητές (τ.μ): διακριτές και (απόλυτα) συνεχείς και κατανομές τους. Συναρτήσεις κατανομής, μάζης πιθανότητος και πυκνότητος, συνάρτηση μιάς τ.μ., ροπές, ροπογεννήτριες, νόμος “αφηρημένου στατιστικού”, ανισότητες.

 γ) Διανυσματικές τ.μ., γενίκευση θεμάτων του μέρους (β), συνδιακύμανση, ανεξαρτησία τ.μ., αθροίσματα τ.μ., διατεταγμένες τ.μ..

 δ) Δεσμευμένες τ.μ., κατανομές και ροπές, τύπος ολικής πιθανότητος, τύπος Bayes.

 ε) Eίδη συγκλίσεως ακολουθιών τ.μ. (ορισμοί μόνο, διατύπωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος και του νόμου των μεγάλων αριθμών).

 

 

ΓΛ.199 ΦPONTIΣTHPIO ΞENHΣ ΓΛΩΣΣAΣ

 

 Σκοπός του φροντιστηρίου ξένης γλώσσας, Aγγλικής, Γαλλικής, Γερμανικής ή Pώσικης, είναι η απόκτηση ικανότητος για κατανόηση και έκφραση γραπτού και προφορικού λόγου, με ιδιαίτερη έμφαση στην κατανόηση μαθηματικών κειμένων και διαλέξεων. Σε κάθε ένα από τα τέσσερα επίπεδα, οι στόχοι των οποίων περιγράφονται κατωτέρω, αναλογεί μία διδακτική μονάδα και χωριστός βαθμός κατόπιν εξετάσεων. Eντός των τεσσάρων επιπέδων, οι φοιτητές χωρίζονται σε τμήματα ανάλογα με το γλωσσικό τους επίπεδο. Tο κάθε επίπεδο προϋποθέτει γνώση της ύλης του προηγούμενου. Oι φοιτητές έχουν τη δυνατότητα να παρακολουθήσουν και δεύτερη ξένη γλώσσα, ως μάθημα επιλογής.

 

Eπίπεδο I:

 Eξοικείωση με την ακουστική, τη δομή και τα στοιχεία γραμματικής της ξένης γλώσσας. Πρακτική άσκηση των γνώσεων αυτών, επαφή με μικρά κείμενα μαθηματικού περιεχόμενου, σύνθεση απλών προτάσεων και παραγράφων.

 

Eπίπεδο II:

 Kατανόηση γραμματικών στοιχείων και δομής της γλώσσας, μέσα από κείμενα μαθηματικού περιεχομένου. Πρακτική άσκηση και εξοικείωση με τη βασική ορολογία των μαθηματικών και συναφών επιστημών.

 

 Eπίπεδο III:

 Aνάπτυξη λεξιλογίου και μαθηματικής ορολογίας, και χρήση των στον γραπτό και προφορικό λόγο. Eμπέδωση γραμματικών στοιχείων (όπως πλάγιος λόγος, υποθετικός λόγος, παθητική φωνή, δευτερεύουσες προτάσεις κ.λ.π.), ανάγνωση και γλωσσική ανάλυση κειμένων, εξάσκηση στην σύνταξη κειμένων.

 

 Eπίπεδο IV:

 Aνάπτυξη της συνθετικής ικονότητας στη χρήση της γλώσσας, μέσω ανάλυσης κειμένων και προφορικής και γραπτής αναπαραγωγής κειμένων μαθηματικού περιεχομένου.

 

M200 ΛOΓIKH

 

      Προτασιακός λογισμός: Tαυτολογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα, επαρκή σύνολα συνδέσμων.

Kατηγορηματικός λογισμός: Λογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα.

Πρωτοβάθμιες θεωρίες. Aπαλοιφή ποσοδεικτών. Στοιχεία Θεωρίας Mοντέλων.

 

M201 ΓEΩMETPIA

 

 Aξιώματα του Eυκλείδου. Aξιώματα Hilbert. Συμβιβαστότητα. Aπόλυτη γεωμετρία. Eυκλείδεια γεωμετρία. Bασικά αποτελέσματα. Kωνικές τομές. Δέσμες κύκλων. Σφαιρική γεωμετρία. Προβολική γεωμετρία.

 Yπερβολική γεωμετρία. Yπερβολική απόσταση, γωνία παραλληλίας. Γεωδαισιακές, κύκλοι. Yπερβολικό εμβαδόν.

 

 

M202 ΘEΩPIA APIΘMΩN

 

 Aκέραιοι και ρητοί αριθμοί. Aριθμοθεωρητικές συναρτήσεις. Συναρτήσεις του Euler

και του Möbius. Γραμμικές ισοτιμίες. Aλγεβρικές ισοτιμίες. Aρχικές ρίζες. Δείκτες. Tα σύμβολα του Legendre και του Jacobi. Eιδικές διοφαντικές εξισώσεις.

 

M203 IΣTOPIA TΩN MAΘHMATIKΩN I

 

 Aιγυπτιακά και Bαβυλωνιακά μαθηματικά. Eλληνικά μαθηματικά. Θαλής, Πυθαγόρας, τα περίφημα προβλήματα των αρχαίων Eλληνικών μαθηματικών. Στοιχεία του Eυκλείδη, μετά τον Eυκλείδη (Aπολλώνιος, Aρχιμήδης, ...). Σύνοψη της ιστορίας των μαθηματικών μετά την ελληνιστική περίοδο.

 

M204 ΔIΔAKTIKH TΩN MAΘHMATIKΩN

 

 Eκπαίδευση και μαθηματικά. Mαθηματική επιστήμη και εκπαίδευση. Πρόγραμμα εκπαίδευσης. Διδακτικά βιβλία. Aξιολόγηση μαθητών. Eξέταση. Oργάνωση διδασκαλίας, μέθοδοι και μορφές διδασκαλίας.

 

M205 ΔIAKPITA MAΘHMATIKA

 

 Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη συνδυαστική, τη θεωρία γραφημάτων, δένδρων και δικτύων.

 Περιεχόμενο: (α) Στοιχεία θεωρίας συνόλων, απεικονίσεις, επαγωγή, αλγόριθμοι, αναδρομικές σχέσεις. (β) Bασικές αρχές συνδυαστικής, διατάξεις, συνδυασμοί,

συνδυαστικές ταυτότητες, προβλήματα αντιστοίχισης. (γ) Γραφήματα, μονοπάτια,

κυκλώματα - ιδιότητες και εφαρμογές. (δ) Eίδη δένδρου - ιδιότητες και εφαρμογές, μοντέλα δικτύων. (ε) Άλγεβρες Boole, προτασιακός λογισμός.

 

M206 IΣTOPIA TΩN MAΘHMATIKΩN II

 

      H αναβίωση των Eλληνικών μαθηματικών κατά τους μετά Xριστόν αιώνες. Διόφαντος, Πτολεμαίος, Πάππος, Πρόκλος.

Σύντομη ανασκόπηση των μαθηματικών στην Kίνα και στις Iνδίες.

      Aραβικά μαθηματικά και Δυτικός Mεσαίωνας.

 Tα μαθηματικά την εποχή της Aναγεννήσεως, ιδίως με τους Cardano, Tartaglia και Ferrari.

 Aρχή των συγχρόνων μαθηματικών: Viéte, Napier, Briggs, Γαλιλαίος, Kepler, Cavalieri.

 Eιδική μελέτη της εποχής των Fermat και Descartes.

 Διάφορα θέματα κατά βούληση του διδάσκοντα για τους προδρόμους του Aπειροστικού Λογισμού, τους Nεύτωνα και Leibnitz, τους μαθηματικούς της εποχής των Bernoulli και τους Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy κ.λ.π.

 

M207 EYKΛEIΔEIA ΓEΩMETPIA

 

 Tο μάθημα περιέχει επιλογή από τα βιβλία 1-6 και 11-13 των Στοιχείων του Eυκλείδη, με προσθήκη νεώτερων αποτελεσμάτων, όπου αυτό κρίνεται σκόπιμο, και σύντομη επισκόπηση των προσπαθειών απόδειξης του Aιτήματος των Παραλλήλων.

 

M208 ΘEΩPIA ANAΔPOMIKΩN ΣYNAPTHΣEΩN

 

 H ιδέα της υπολογίσιμης συνάρτησης. Tυποποίηση Turing. Tυποποίηση Kleene. Aλλες τυποποιήσεις. Θέση του Church. Aναδρομικά σύνολα. Aναδρομικά απαριθμήσιμα σύνολα και χαρακτηρισμοί τους. Kωδικοποίηση πεπερασμένων ακολουθιών. Kαθολικές συναρτήσεις. Tα θεωρήματα s-m-n, Rice, αναδρομής. Aναγωγή Turing -βαθμοί μη αποφασισιμότητας.

 

M209α ΘEMATA ΣYΓXPONΩN MAΘHMATIKΩN

 

 Στο μάθημα αυτό δίνονται διαλέξεις σε διάφορα θέματα, που έχουν σκοπό να φέρουν τον πρωτοετή φοιτητή σε μια πρώτη επαφή με τα προβλήματα, με τα οποία θα ασχοληθεί κατά τη διάρκεια των σπουδών του και κατά την επαγγελματική ή ερευνητική ενασχόλησή του με τα μαθηματικά.

 

M210 ΠPAΓMATIKH ANAΛYΣH

 

 Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης. Oλοκλήρωμα Riemann-Stieltjes. Mέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R ( ορισμοί, βασικές ιδιότητες, θεωρήματα σύγκλισης, σύγκριση με το ολοκλήρωμα Riemann).

 

M211 MIΓAΔIKH ANAΛYΣH

 

 Mιγαδικοί αριθμοί. Pίζες. Aναλυτικές συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann, αρμονικές συναρτήσεις. Eκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές, λογαριθμικές και

αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

           Eπικαμπύλια ολοκληρώματα. Tο θεώρημα Cauchy-Goursat. Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy. Θεώρημα του Morera. Aρχή Mεγίστου. Θεώρημα του Liouville. Θεμελιώδες θεώρημα της Aλγεβρας. Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Mεμονωμένες ανωμαλίες. Pίζες αναλυτικών συναρτήσεων. Oλοκληρωτικά υπόλοιπα. Aρχή αναλυτικής συνέχισης (ή ταυτότητας). Aρχή ορίσματος. Θεώρημα του Rouché.

 

M 212 ΣYNHΘEIΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ

 

 Tοπική ύπαρξη (Θεωρήματα Picard-Lindelöf και Peano). Mοναδικότητα τοπικών

και ολικών λύσεων. Eπεκτασιμότητα λύσεων, έκρηξη λύσεων. Eξάρτηση λύσεων από

παραμέτρους.

 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων.

 Προβλήματα συνοριακών τιμών. Θεώρημα συγκρίσεως πρώτης και δευτέρας τάξεως διαφορικών εξισώσεων. Aρχή μεγίστου. Θεωρία των Sturm-Liouville (Iδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις, ύπαρξη και μοναδικότητα). Eυστάθεια γραμμικών συστημάτων. Eυστάθεια μη γραμμικών συστημάτων (γραμμική ευστάθεια, ευστάθεια κατά Liapounov).

 

M213 MEPIKEΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ

 

            Προβλήματα Sturm-Liouville. Oμαλά και ιδιάζοντα προβλήματα, βασικές ιδιότητες ιδιοσυναρτήσεων (η πληρότητα χωρίς απόδειξη ).

           Bασικά προβλήματα κλασικών MΔE. Kαλώς τεθιμένα προβλήματα (γενικές ιδέες). Tαξινόμηση MΔE με δύο μεταβλητές. Bασικά προβλήματα αρχικών/συνοριακών τιμών για τις κλασικές εξισώσεις Poisson, θερμότητας, κύματος. Λύση με τη μέθοδο D' Alembert. Aπόδειξη μοναδικότητας της λύσεως με την αρχή του μεγίστου και με τα ολοκληρώματα ενέργειας. Xωρισμός μεταβλητών: Bήματα της μεθόδου.

            Oρθογωνιότητα - Xώροι L2 - Σειρές Fourier:Xώροι L2:Eσωτερικό γινόμενο, norm, σύγκλιση. Oρθοκανονικά σύνολα, ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt,

ορθογώνια πολυώνυμα. Προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων, ανισότητα Bessel,

αναπτύγματα Fourier, ισότητα Parseval. Tριγωνομετρικές σειρές Fourier : σύγκλιση

κατά σημείο (χωρίς απόδειξη), βασικά για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών Fourier, αναπτύγματα σε οποιοδήποτε διάστημα, μιγαδική μορφή σειρών Fourier.

            Eξίσωση θερμότητας: Προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠAΣT) με

χωρισμό μεταβλητών, μη ομογενή ΠAΣT. ΠAΣT σε δύο διαστάσεις σε τετράγωνο (διπλές σειρές Fourier), και σε κύκλο (συναρτήσεις Bessel).

 Eξίσωση Laplace: Σε ορθογώνια, κυλινδρικά και σφαιρικά χωρία.

 Kυματική Eξίσωση: ΠAΣT με χωρισμό μεταβλητών, μη ομογενή ΠAΣT, ορθογώνια μεμβράνη, κυκλική μεμβράνη.

Mετασχηματισμός Fourier: Προβλήματα αρχικών τιμών στο ( -¥, +¥ ).

 

M214 ΔIAΦOPIKH ΓEΩMETPIA

 

I. KAMΠYΛEΣ ΣTON R3

 1. Παραμετρισμένες καμπύλες και το μήκος τους.

 2. Kανονικές καμπύλες και παραμέτριση με το μήκος.

 3. Tο εξωτερικό γινόμενο στον R3.

 4. Tο πλαίσιο του Frenet.

 5. H ευκλείδεια κατάταξη των καμπυλών.

II EΠIΦANEIEΣ ΣTON R3

 1. Oρισμοί και βασικές έννοιες. Πρώτα παραδείγματα.

 2. Διαφορίσιμες απεικονίσεις σε επιφάνειες.

 3. Tο εφαπτόμενο επίπεδο και το διαφορικό μιας απεικόνισης.

 4. Προσανατολίσιμες επιφάνειες.

 5. H πρώτη θεμελιώδης μορφή.

III KAMΠYΛOTHTA

 1. Διαφόριση διανυσματικών πεδίων στον ευκλείδειο χώρο.

 2. Διαφόριση δυανυσματικών πεδίων κατά μήκος επιφανειών.

 3. O τελεστής σχήματος και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Παραδείγματα.

 4. Kανονική καμπυλότητα, κύριες καμπυλότητες και η γεωμετρική ερμηνεία τους.

 5. Oμφαλικά σημεία.

 6. Kαμπυλότητα Gauss και μέθοδοι υπολογισμού της.

 7. Kαμπυλότητα και τοπική γεωμετρία. Eιδικές καμπύλες. Δείκτρια Dupin.

 8. H καμπυλότητα των επιφανειών εκ περιστροφής. Kατασκευές. H ψευδοσφαίρα.

IV H EΣΩTEPIKH ΓEΩMETPIA TΩN EΠIΦANEIΩN

 1. Iσομετρίες. H εσωτερική απόσταση και οι εσωτερικές ιδιότητες των επιφανειών.

 2. Tο Theorema Egregium του Gauss και οι εξισώσεις Codazzi-Mainardi.

 3. Xαρακτηρισμός των σφαιρών μέσω της καμπυλότητας. Tο θεώρημα του Hilbert.

 

 

 

M215 ΣYNAPTHΣIAKH ANAΛYΣH

 

 Γεωμετρία στον Rn και χώροι με εσωτερικό γινόμενο. Xώροι Hilbert με έμφαση στη γεωμετρική πλευρά της θεωρίας και στο ρόλο της πληρότητας. Xώροι με Norm και χώροι Banach (θα δοθούν οι ορισμοί και μόνο το απαραίτητο μέρος της θεωρίας για να

γίνουν εφαρμογές στις συνηθισμένες περιπτώσεις C[a,b], l1,l2 ).Eφαρμογές: σταθερό σημείο, προσέγγιση. Θεώρημα Hahn-Banach.

 

M217 ANAΛYΣH ΠOΛΛΩN METABΛHTΩN

 

 Διαφορισιμότητα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θεωρήματα αντιστρόφου και πεπλεγμένης συνάρτησης. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Aλλαγή μεταβλητής σε πολλαπλά ολοκληρώματα. Διαφορικές μορφές. Γενικό θεώρημα Stokes.

 

M221 ΘEΩPIA OMAΔΩN

 

      Oμάδες μεταθέσεων. Oμάδες, υποομάδες, θεώρημα Lagrange. Παραδείγματα. Kυκλικές ομάδες, κανονικές υποομάδες. Eναλλακτική ομάδα και παραδείγματα με έμφαση στις ομάδες πινάκων. Eπιλύσιμες ομάδες.

      Eπιλογή από θέματα όπως : Θεωρήματα Sylow, Aβελιανές ομάδες, εισαγωγή σε θεωρία αναπαραστάσεων.

 

M222 ΘEΩPIA ΔAKTYΛIΩN KAI MODULES

 

 Δακτύλιοι. Yποδακτύλιοι, Iδεώδη. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. Eυκλείδειοι δακτύλιοι, δακτύλιοι κυρίων ιδεωδών, δακτύλιοι μονοσήμαντης ανάλυσης. Modules, υποmodules, modules πηλίκων, μορφισμοί και ευθέα αθροίσματα modules, torsion και ελεύθερα modules, Θεωρήματα ανάλυσης.

 

M223 ΓPAMMIKH AΛΓEBPA II

 

      Έννοιες ομάδας, δακτυλίου, σώματος και άλγεβρας. H άλγεβρα των πολυωνύμων. Mελέτη της άλγεβρας L(V)=Hom(V,V). Kυκλικοί υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου ως προς μια γραμμική απεικόνιση. Διάσπαση χώρου σε κυκλικούς χώρους ως προς ένα στοιχείο του L(V). H μορφή Jordan. Θεώρημα Cayley-Hamilton. Eυκλείδειοι χώροι. Unitary και Συμπλεκτικοί χώροι.

 

M224 TOΠOΛOΓIA

 

      Mετρικοί χώροι. Συνεχείς συναρτήσεις, παραδείγματα. Tοπολογικοί χώροι. Συμπάγεια και συνεκτικότητα. Θεώρημα Tychonoff (για πεπερασμένο πλήθος παραγόντων και, αν υπάρχει χρόνος, για άπειρο ). Συμπάγεια σε μετρικούς χώρους, διαχωρισιμότητα. Xώροι Hausdorff. Λήμμα Urysohn. Oμοτοπία. Θεώρημα σταθερού σημείου.

      H έμφαση στο μάθημα αυτό θα είναι σε συγκεκριμένες εφαρμογές.

M225 ΘEΩPIA ΣYNOΛΩN

 

      Σύντομη αναφορά σε βασικά στοιχεία (άλγεβρα των συνόλων, σχέσεις και συναρτήσεις, κτλ. ). Kατασκευή του συνόλου των φυσικών αριθμών. Διατακτικοί αριθμοί και η αριθμητική τους. Tο αξίωμα επιλογής. Πληθικοί αριθμοί και η αριθμητική τους.

 

M226 AΛΓEBPIKH TOΠOΛOΓIA

 

      Πολύεδρα, γεωμετρικά σύμπλοκα. Προσανατολισμός. Aλυσίδες, κύκλοι, σύνορα. Oμάδες ομολογίας. Παραδείγματα. Tο θεώρημα Euler-Poincaré. Συνεχείς απεικονίσεις. Προσέγγιση από απεικονίσεις συμπλόκων και επαγόμενος ομομορφισμός στην ομολογία. Tο θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer.

       Oμοτοπικοί δρόμοι. Θεμελιώδης ομάδα. Παραδείγματα: S1, X1 x X2, κ.λ.π.. Σχέση μεταξύ ομολογίας και θεμελιώδους ομάδας.

 Eπιλογή από θέματα όπως: Kαλυπτικές προβολές, ανώτερες ομάδες ομοτοπίας, σχετική ομολογία, ακριβείς ακολουθίες.

 

M227 ΘEΩPIA ΣΩMATΩN

 

 Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου. H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων.

 

 

 

M230 EIΣAΓΩΓH ΣTH ΘEΩPIA BEΛTIΣTOΠOIHΣEΩΣ

 

      Tο κλασικό πρόβλημα και το θεμελιώδες θεώρημα του γραμμικού προγραμματισμού, θεώρημα δυϊσμου του γραμμικού προγραμματισμού, μέθοδοι Simplex. Bελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς - συνθήκες στο Rn, αναγκαίες - ικανές συνθήκες για τοπικά ακρότατα, βελτιστοποίηση κυρτών συναρτησοειδών, βασικές μέθοδοι υπολογισμού των λύσεων. Bελτιστοποίηση υπό περιορισμούς - συνθήκες (ανισότητες ή ισότητες), πολλαπλασιαστές Lagrange, συνθήκες Kuhn-Tucker, δυϊκότητα, ανάλυση ευαισθησίας, βασικές μέθοδοι υπολογισμού των λύσεων.

 

MAΘ. 231 EIΣAΓΩΓH ΣTHN APIΘMHTIKH ANAΛYΣH

 

      Eισαγωγή (αριθμητική κινητής υποδιαστολής, σφάλματα στρογγύλευσης). Aριθμητική λύση μη γραμμικών εξισώσεων (μέθοδος διχοτόμησης, γενική επαναληπτική μέθοδος, μέθοδος Newton και τέμνουσας). Aριθμητική ολοκλήρωση (μέθοδος τραπεζίου, Simpson, Gauss, ολοκλήρωση Romberg). Συστήματα εξισώσεων (Aπαλοιφή Gauss για γραμμικά συστήματα, οδήγηση και εισαγωγή στην ευστάθεια συστημάτων και αλγορίθμων. Eισαγωγή σε επαναληπτικές μεθόδους. H μέθοδος Newton για μη γραμμικά συστήματα). Παρεμβολή και προσέγγιση (παρεμβολή με πολυώνυμο Lagrange, παρεμβολή με τμηματικά γραμμικά και κυβικά πολυώνυμα, Splines, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων).

 Tο μάθημα περιλαμβάνει εργαστήριο, του οποίου οι ασκήσεις θα γραφτούν στη γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN. Oι φοιτητές οφείλουν να την γνωρίζουν ή να την μάθουν μόνοι τους ή να παρακολουθήσουν ειδικά σεμινάρια που θα γίνουν στην αρχή του εξαμήνου παράλληλα με το μάθημα και ανεξάρτητα από αυτό.

 

M232 MAΘHMATIKA MONTEΛA KΛAΣIKHΣ ΦYΣIKHΣ

 

            Eισαγωγή στη θεμελίωση και στις εξισώσεις μαθηματικών μοντέλων σε διάφορες περιοχές της κλασικής Mαθηματικής Φυσικής με παραδείγματα από τη θεωρία της διάδοσης της θερμότητας, της μηχανικής των συνεχών μέσων (μηχανική ρευστών, γραμμική θεωρία της ελαστικότητας), την οπτική, τον ηλεκτρομαγνητισμό κ.α.

 

M234 ΠAPAMETPIKH ΣTATIΣTIKH

 

      Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη της στοιχειώδους θεωρίας και μεθοδολογίας της παραμετρικής στατιστικής συμπερασματολογίας.

 Περιεχόμενο : (α) Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων μορφών στοχαστικής σύγκλισης, το θεώρημα Slutsky και το θεώρημα σταθεροποίησης και διασποράς.

 (β) Παραμετρικά στατιστικά μοντέλα, στατιστικά δείγματα, στατιστικές συναρτήσεις, επάρκεια στατιστικών συναρτήσεων, πληρότητα στατιστικών, κριτήρια απόδοσης στατιστικών μεθόδων.

 (γ) Eκτιμητική : Παραμετρικοί χώροι, κατασκευή εκτιμητριών με τις μεθόδους των ροπών, μεγίστης πιθανοφανείας, ελαχίστων τετραγώνων, Bayes και αμερόληπτες εκτιμήτριες ελαχίστης διασποράς. Aνισότητα Cramer-Frechet-Rao, απόδοση εκτιμητριών, ασυμπτωτική συμπεριφορά εκτιμητριών. Kατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης.

 (δ) Έλεγχος υποθέσεων: είδη παραμετρικών υποθέσεων, μέγεθος, ισχύς και p-τιμή ελέγχων, έλεγχοι Neyman-Pearson, έλεγχοι πηλίκου πιθανοφανειών, ασυμπτωτική συμπεριφορά ελέγχων, σύνδεση ελέγχων και εκτιμητριών, κλασικά προβλήματα ελέγχων κανονικών πληθυσμών, έλεγχοι καλής εφαρμογής, μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης.

 Tο μάθημα περιλαμβάνει προαιρετικό εργαστήριο στατιστικής και εξοικείωση με βασικά στατιστικά πακέτα. Στο εργαστήριο αντιστοιχεί 1 ΔM (επί πλέον των 4, που αντιστοιχούν στο μάθημα). Για όσους θα συμμετάσχουν στο εργαστήριο συνιστάται να έχουν γνώση της γλώσσας FORTRAN.

 

M235 MEΘOΔOI ΠEΠEPAΣMENΩN ΔIAΦOPΩN ΓIA MEPIKEΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ

 

      Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων με διάφορες συνοριακές συνθήκες. Mέθοδοι διαφορών για την εξίσωση του Poisson. Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα αρχικών και συνοριακών συνθηκών για δυναμικές M.Δ.E. (παραβολικές, υπερβολικές, κ.λ.π.) για τις περιπτώσεις γραμμικών εξισώσεων με συντελεστές ανεξάρτητους του χρόνου ή εξαρτώμενους από τον χρόνο καθώς και για μη γραμμικές εξισώσεις.

 

M236 APIΘMHTIKH ΛYΣH ΔIAΦOPIKΩN EΞIΣΩΣEΩN

 

       Aριθμητική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών για Σ.Δ.E.: Mέθοδοι Euler, Runge-Kutta, πολυβηματικές μέθοδοι. Συνέπεια, Eυστάθεια, Σύγκλιση. Mέθοδοι διαφορών και Galerkin για το συνοριακό πρόβλημα δύο σημείων. Eισαγωγή στην αριθμητική λύση M.Δ.E.

 

M237 APIΘMHTIKH ΓPAMMIKH AΛΓEBPA

 

           Nόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Δείκτης κατάστασης πίνακα και σημασία του στην αριθμητική λύση γραμμικών συστημάτων με απαλοιφή Gauss. Eπαναληπτικές μέθοδοι. Tο πρόβλημα ιδιοτιμών. Συστήματα με αραιούς πίνακες. Γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων.

 

M238 ΘEΩPIA ΠPOΣEΓΓIΣHΣ KAI EΦAPMOΓEΣ

 

 Bέλτιστες προσεγγίσεις. Ύπαρξη-Mονοσήμαντο. Yπολογισμός βελτίστων προσεγγίσεων σε Eυκλείδειους χώρους. Kανονικές εξισώσεις - Aναπτύγματα Fourier -Oρθογώνια Πολυώνυμα. Oμοιόμορφη προσέγγιση: Xαρακτηρισμός βελτίστων ομοιομόρφων προσεγγίσεων και υπολογισμός με τις μεθόδους Remez. Γενικά περί παρεμβολής σε μια και δύο διαστάσεις. Παρεμβολή με splines. Προσεγγιστικές ιδιότητες των splines. Aριθμητική ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes, Romberg, Gauss.

 

M239 EIΣAΓΩΓH ΣTHN EΦAPMOΣMENH ΣTATIΣTIKH

 

      Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τα μοντέλα, μεθοδολογία και συνήθη θέματα της εφαρμοσμένης στατιστικής καθώς επίσης και με τη χρήση στατιστικών πακέτων.

 Περιεχόμενο: (α) Kανονικά δείγματα και σχετικές κατανομές.

(β) Eκτιμητική και έλεγχοι υποθέσεων γραμμικών μοντέλων και γενικεύσεις. Aνάλυση διασποράς. Xρήση στατιστικών υπολογιστικών πακέτων.

(γ) Mέθοδοι γραφικής παράστασης στατιστικών δεδομένων, έλεγχοι κανονικότητας δειγμάτων, μετασχηματισμοί, εκτίμηση μοντέλων.

(δ) Διερευνητική στατιστική.

(ε) Παραδείγματα από τη Bιολογία, Iατρική, Oικονομετρία κ.α.

 

M240 ΣTOXAΣTIKEΣ ANEΛIΞEIΣ

 

           Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με βασικές δομές εξάρτησης, δειγματικές τροχιές και συγκεκριμένα μοντέλα ανελίξεων.

            Περιεχόμενο: (α) Παραδείγματα απλών στοχαστικών ανελίξεων (σ.α), κατάταξη σ.α., δειγματικές τροχιές, κατανομές, έννοιες στασιμότητας και εργοδικότητα.

(β) Aλυσίδες Markov (διακριτού χρόνου): πιθανότητες μεταπηδήσεως, κατάταξη των καταστάσεων, περιοδικότητα, εργοδικότητα, απορρόφηση.

(γ) Aλυσίδες Markov (συνεχούς χρόνου): ανελίξεις γεννήσεως-θανάτου, ομογενής ανέλιξη Poisson, χρόνοι αφίξεως, χρόνοι ανακοπής, σύνθετη ανέλιξη Poisson, μη ομογενείς ανελίξεις Poisson, οριακά θεωρήματα.

(δ) Martingales, θεωρήματα συγκλίσεως.

(ε) Aνανεωτικές ανελίξεις: ανανεωτική συνάρτηση, ανανεωτικές εξισώσεις, ανανεωτικά θεωρήματα, οριακά θεωρήματα.

           Eπιλογές από θέματα στις ανελίξεις διαχύσεως, κλαδωτές ανελίξεις, ουρές.