Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης
Τρέχουσα Εγγραφή: 87 από 125
|
|
| Κωδικός Πόρου |
000411367 |
| Τίτλος |
Profinite groups and cohomology |
| Άλλος τίτλος |
Προπεπερασμένες ομάδες και συνομολόγια |
|
Συγγραφέας
|
Ζερβού, Ανθή
|
|
Σύμβουλος διατριβής
|
Αντωνιάδης, Ιωάννης
|
| Περίληψη |
Η θεωρία Galois αποτελεί μία κομψή αλληλεπίδραση μεταξύ της θε-
ωρίας σωμάτων και της θεωρίας ομάδων. Υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη
αντιστοιχία ανάμεσα στα ενδιάμεσα σώματα της επέκτασης Galois και
στις υποομάδες της ομάδας Galois αυτής της επέκτασης. Στην περί-
πτωση των πεπερασμένων επεκτάσεων Galois η αντιστοιχία αυτή ανά-
μεσα στα ενδιάμεσα σώματα και στις υποομάδες μας δίνεται από το
θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois. Το θεμελιώδες θεώρημα είναι
χρήσιμο διότι μας βοηθάει να αντλήσουμε πληροφορίες για τα ενδιά-
μεσα σώματα της επέκτασης απο τις υποομάδες της ομάδας Galois
αυτής της επέκτασης, και αντίστροφα. Γι αυτό τον λόγο θα θέλαμε
να επεκτείνουμε το θεμελιώδες θεώρημα και για τις περιπτώσεις των
άπειρων επεκτάσεων. Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάμε την θεωρία Galois
για άπειρες επεκτάσεις. Ευτυχώς ο ορισμός της επέκτασης Galois με-
ταφέρεται χωρίς καμία αλλαγή από την περίπτωση των πεπερασμένων
επεκτάσεων στην περίπτωση των άπειρων επεκτάσεων. Δυστυχώς το
θεμελιώδες θεώρημα δεν ισχύει στις περιπτώσεις των άπειρων επεκτά-
σεων. Έναν αιώνα μετά το έργο του Galois, o W. Krull συνδέει την
Τοπολογία με την Άλγεβρα (τοπολογικές ομάδες) και αποδεικνύει την
αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα στα ενδιάμεσα σώματα και στις
κλειστές υποομάδες της ομάδας Galois, το οποίο είναι το αντίστοιχο θε-
μελιώδες θεώρημα για τις άπειρες επεκτάσεις. Αυτό το θεώρημα απο-
τελεί γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Galois για τις
πεπερασμένες επεκτάσεις.
Οι ομάδες οι οποίες είναι υλοποιήσιμες ως ομάδες Galois κάποιας
επέκτασης ανήκουν σε μία κλάση τοπολογικών ομάδων, τις λεγόμενες
προπεπερασμένες ομάδες. Αυτήν την κατηγορία ομάδων μελετάμε στο
δεύτερο κεφάλαιο. Οι τοπολογικές αυτές ομάδες ορίζονται ως το προβο-
λικό όριο πεπερασμένων τοπολογικών ομάδων. Για τον λόγο αυτό ορί-
ζουμε την έννοια του προβολικού ορίου. Μάλιστα αποδεικνύεται ότι μία
προπεπερασμένη ομάδα G είναι ισόμορφη, αλγεβρικά και τοπολογικά,
με το προβολικό όριο των ομάδων πηλίκων G/N, όπου η N διατρέχει
όλες τις ανοιχτές κανονικές υποομάδες της G. Ακόμα μία προπεπε-
ρασμένη ομάδα ως τοπολογικός χώρος είναι Hausdorff, συμπαγής και
πλήρως μη συνεκτικός. Μάλιστα αυτές οι τοπολογικές ιδιότητες χαρα-
κτηρίζουν τις προπεπερασμένες ομάδες. Έπειτα ακολουθούν σημαντικά
παραδείγματα από την Θεωρία Αριθμών. Τέλος, ορίζουμε την δυϊκή έν-
νοια του προβολικού ορίου, το οποίο είναι το ευθύ όριο και μελετάμε
την συμβατότητα των δύο αυτών ορίων με τους συναρτητές Hom και
τανυστικό γινόμενο.
Τις τελευταίες δεκαετίες η συνομολογία ομάδων έχει σημαντικό ρόλο
σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε
την ομάδα συνομολογίας για πεπερασμένες ομάδες. Αρχικά ορίζουμε
τις διαφορικές ομάδες, επειδή αυτές χρησιμεύουν ως μία εισαγωγή κά-
ποιων βασικών τεχνικών για την μελέτη των ομάδων συνομολογίας. Στην
συνέχεια ορίζουμε την ομάδα συνομολογίας με την βοήθεια της πλήρης
ελεύθερης επίλυσης. Ακόμα μελετάμε τις ομάδες συνομολογίας χαμηλής
διάστασης καθώς επίσης και την συνομολογία κυκλικών ομάδων. Τέλος
αναφέρουμε, χωρίς απόδειξη, και άλλα σημαντικά θεωρήματα της θεω-
ρίας συνομολογίας.
Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάμε την θεωρία της συνομολογίας των
προπεπερασμένων ομάδων. Η συνομολογία αυτή ορίζεται μέσω της έν-
νοιας της συνομολογίας των πεπερασμένων ομάδων. Βέβαια οι σύνκυ-
κλοι και τα συνσύνορα είναι επιπλέον συνεχείς συναρτήσεις. Για να κα-
τασκευάσουμε την ομάδα συνομολογίας χρειαζόμαστε την έννοια του
discrete module, το οποίο και ορίζουμε. Στην συνέχεια εξετάζουμε τί
συμβαίνει στην ομάδα συνομολογίας Hq(G;A) αν αλλάξουμε την ομάδα
G, όπου A είναι ένα discrete module. Για να το κάνουμε αυτό χρειαζό-
μαστε την έννοια των compatible pairs και κάποιες ιδιότητες αυτών.
Όλη αυτή η θεωρία έχει σημαντικές εφαρμογές σε πολλούς κλά-
δους των μαθηματικών. Στο πέμπτο κεφάλαιο αναφέρουμε ελάχιστες
από αυτές τις εφαρμογές. Αρχικά μελετάμε το πρόβλημα της ταξινόμη-
σης των επεκτάσεων ομάδων, μέσω της δεύτερης ομάδας συνομολογίας
πεπερασμένων ομάδων. Αποδεικνύεται ότι για μία αβελιανή ομάδα A
η οποία είναι και G-module, υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοι-
χία ανάμεσα στις κλάσεις ισοδυνάμων επεκτάσεων της A στην G και
στα στοιχεία της δεύτερης ομάδας συνομολογίας H2(G;A). Ακόμα με χρήση της δεύτερης ομάδας συνομολογίας ορίζεται η ομάδα Brauer.
Στην συνέχεια μελετάμε το θεώρημα του Waterhouse ότι κάθε προπε-
περασμένη ομάδα είναι υλοποιήσιμη ως ομάδα Galois κάποιας επέκτα-
σης σωμάτων. Τέλος αναφέρουμε το εξαιρετικά σημαντικό θεώρημα του
Shafarevich ότι κάθε πεπερασμένη επιλύσιμη ομάδα είναι υλοποιήσιμη
ως ομάδα Galois επέκτασης υπέρ το Q. Η απόδειξη του είναι πολύ δύ-
σκολη. Για την απόδειξη του χρησιμοποιούνται πολλά από αυτά που
αναπτύχθηκαν μέσα στην εργασία, αλλά αυτά δεν είναι αρκετά.
|
| Φυσική περιγραφή |
132 σ. ; : ; 30 εκ. |
| Γλώσσα |
Αγγλικά |
| Ημερομηνία έκδοσης |
2017-07-21 |
| Συλλογή
|
Σχολή/Τμήμα--Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών--Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης
|
|
|
Τύπος Εργασίας--Μεταπτυχιακές εργασίες ειδίκευσης
|
| Μόνιμη Σύνδεση |
https://elocus.lib.uoc.gr//dlib/c/a/c/metadata-dlib-1504519509-831418-9023.tkl
|
| Εμφανίσεις |
495 |
Συλλογές
