| Περίληψη |
Σε αυτή την διατριβή, μελετάμε κυρίως προβλήματα αλλαγής φάσεων. Ας περιγράψουμε
σύντομα την υποκείμενη φυσική φαινομενολογία στην απλή περίπτωση των δύο φάσεων.
Δοθέντος μιας ουσίας σε ένα δοχείο, η οποία μπορεί να λαμβάνει δύο φάσεις, έστω
a1 και a2, και θα θέλαμε να το περιγράψουμε με μαθηματικά. Μια προσέγγιση θα
μπορούσε να είναι ότι η διαμόρφvση διεπιφανειών περιγράφεται από μια μεταβολική
αρχή, το οποίο προκύπτει ως αποτέλεσμα της ελαχιστοποίησης μιας συγκεκριμένης
ενέργειας. Για το λόγο αυτό, μπορούμε να θεvρήσουμε ένα “double well” δυναμικό
W τέτοιο ώστε W(a1) = W(a2) = 0 και W > 0 αλλιώς. ΄Επειτα, εισάγει κανείς έναν
όρο παραγώγου ο οποίος να επιβάλλει την δημιουργία διεπιφανειών και να μετράει
την ενέργεια των διεπιφανειών αυτών. Αυτό είναι το Van der Waals συναρτησοειδές
της ενέργειας. Πιο συγκεκριμένα,
Jε(u) = Z
Ω
Å
ε
2
|∇u|
2 +
1
ε
W(u)
ã
dx , u : Ω ⊂ R
n → R. (1.10)
Συχνά ονομάζουμε το Jε και ως το συναρτησοειδές Allen-Cahn. Αυτός ο όρος
παραγώγου μειώνει τον αριθμό των διεπιφανειών στους ελαχιστοποιητές του Jε, οι
οποίοι προκύπτει ότι είναι ομαλές συναρτήσεις που παρεμβάλονται μεταξύ των φάσεων
a1 και a2 και τα σύνολα στάθμης τους προσεγγίζουν υπερεπιφάνειες με το λιγότερο
δυνατό εμβαδόν. Επομένως, το πρόβλημα μας είναι στενά συνδεδεμένο με την θεωρία
ελαχιστικών επιφανειών. Τα προβλήματα αλλαγής φάσεων προκύπτουν σε πολλές
πειραματικές επιστήμες, οπώς για παράδειγμα στην επιστήμη των υλικών.
Για την μελέτη τριών ή περισσότερων φάσεων, οδηγείται κανείς με φυσιολογικό
τρόπο στη διανυσματική περίπτωση. Οι εξισώσεις που προκύπτουν σε προβλήματα
αλλαγής φάσεων ονομάζονται εξισώσεις Allen-Cahn ή σύστημα εξισώσεων AllenCahn στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες από δύο φάσεις. Συγκεκριμένα,
∆u = Wu(u) , όπου u : Ω ⊂ R
n → R
m. (1.11)
Αυτή η διατριβή αποτελείται από πέντε ανεξάρτητα μέρη. Στο πρώτο μέρος που
περιέχεται στο Κεφάλαιο 2, το οποίο είναι μια εργασία μαζί με τον καθηγητή Ν.
Αλικάκο και τον καθηγητή A. Zarnescu και μπορεί να βρεθεί στο [1], μελετάμε ολικές
λύσεις των συστημάτων Allen-Cahn οι οποίες είναι και ελαχιστοποιητές. Ειδικότερα,
το χαρακτιριστικό γνώρισμα των συστημάτων που μελετάμε είναι δυναμικά που έχουν
πεπερασμένο αριθμό ολικών ελαχίστων (δηλ. φάσεων), με τοπικά υποδευτεροβάθμια
(sub-quadratic) συμπεριφορά κοντά στα ελάχιστα. Εστιάζουμε σε ποιοτικές πτυχές
και δείχνουμε την ύπαρξη ολικών λύσεων σε μια ‘ισαλλοίωτη κλάση’ (equivariant
class) και συνδένουν τα ελάχιστα του δυναμικού W στο άπειρο, επομένως μοντελοποιούν
πολλές συνυπάρχουσες φάσεις, δημιουργώντας ελεύθερα σύνορα και ελαχιστοποιούν
την ενέργεια στη συμμετρική κλάση. Η ύπαρξη του ελεύθερου συνόρου μπορεί να σχετιστεί με την ύπαρξη του ειδικού υποδευτεροβάθμιου (sub-quadratic) χαρακτήρα,
ενός ‘νεκρού πυρήνα’ (dead core), του οποίου το μέγεθος επίσης ποσοτικοποιούμε.
Στο δεύτερο μέρος που βρίσκεται στο Κεφάλαιο 3, παρακινούμενοι από τη σχέση
μεταξύ των προβλημάτων αλλαγής φάσεων με τις ελαχιστικές επιφάνειες, προσδιορίζουμε έναν μετασχηματισμό που μετασχηματίζει τις ισοκατανεμημένες λύσεις των εξισώσεων
Allen-Cahn στη διάσταση τρία σε λύσεις της εξίσωσης της ελαχιστικής επιφάνειας
μιας διάστασης λιγότερο. Αυτό είναι μια εφαρμογή ενός γενικότερου μετασχηματισμού
που εισάγεται σε αυτή την εργασία ο οποίος συσχετίζει τις ισοκατανεμιμένες λύσεις
την εξίσωσης Allen-Cahn με τις ασυμπίεστες εξισώσεις Euler με σταθερή πίεση.
΄Αλλες εφαρμογές είναι De Giorgi τύπου αποτελέσματα, δηλαδή, ότι τα σύνολα στάθμης
ολικών λύσεων είναι υπερεπιφάνειες. Επίσης, προσδιορίζουμε τη δομή των λύσεων
του συστήματος Allen-Cahn στις δύο διαστάσεις οι οποίες ικανοποιούν την ισοκατανομή της ενέργειας και εφαρμόζουμε την προβολή Leray για να δώσουμε παραδείγματα
λύσεων σε κλειστή μορφή και για να αναλύσουμε τη δομή αυτή. Επιπλέον, παρέχουμε
παραδείγματα ομαλών ολικών λύσεων των εξισώσεων Euler, κάποια από τα οποία
μπορούν να επεκταθούν και για τις εξισώσεις Navier-Stokes για ειδικού τύπου αρχικές
συνθήκες. Η εργασία αυτή μπορεί να βρεθεί στο [2].
Το επόμενο μέρος, που αφορά την εργασία στο [3] και περιλαμβάνεται στο Κεφάλαιο
4, έχει να κάνει με την Γ−σύγκλιση του συναρτησοειδούς Allen-Cahn με Dirichlet
συνοριακές συνθήκες στην διανυσματική περίπτωση. Ας περιγράψουμε συνοπτικά το
ανάλογο αποτέλεσμα του Γ−ορίου στην βαθμωτή περίπτωση. ΄Εστω Fε το ε−συναρτησοειδές της ενέργειας των εξισώσεων Allen-Cahn,
Fε(u, Ω) := ®R
Ω
ε
2
|∇u|
2 +
1
εW(u)dx , u ∈ W1,2
(Ω; R)
+∞ , αλλού
(1.12)
τότε από κλασσικό γνωστό αποτέλεσμα προκύπτει ότι το Γ−όριο του Fε είναι το
συναρτησοειδές της περιμέτρου F0 το οποίο μετράει τις μεταβιβάσεις μεταξύ των
φάσεων του προβλήματος, δηλ.
F0(u, Ω) := ®
σHn−1
(Su) , u ∈ BV (Ω; {−1, 1})
+∞ , αλλού
όπου W : R → [0, +∞) , {W = 0} = {−1, 1} , σ =
Z 1
−1
»
2W(u)du
και Su είναι το σύνολο ανωμαλιών της συνάρτησης u.
(1.13)
Επομένως, οι διεπιφάνειες του οριακού προβλήματος θα είναι ελαχιστικές επιφάνειες.
Παρέχουμε όλες τις απαραίτητες αναφορές και τις προηγούμενες θεμελιώδεις συνεισφορές
στο θέμα σε αυτό το τρίτο μέρος. ΄Αρα, στη διανυσματική περίπτωση που μελετάμε,
περιμένει κανείς ότι το Γ−όριο θα είναι το συναρτησοειδές της περιμέτρου που μετράει
τις μεταβιβάσεις μεταξύ των N−φάσεων του προβλήματος. Το αποδεικνύουμε αυτόμε την προσθήκη συνοριακών συνθηκών. Σε αυτή την περίπτωση, οι ελαχιστοποιητές
του οριακού προβλήματος είναι στενά συνδεδεμένοι με τις ελαχιστικές διαμερίσεις
του χωρίου. Επιπροσθέτως, χρησιμοποιώντας ότι το τρίποδο (triod) και η ευθεία
είναι οι μοναδικοί ελαχιστικοί κώνοι στο επίπεδο, εφαρμόζοντας και αποτελέσματα
ομαλότητας για ελαχιστικές καμπύλες, προσδορίζουμε την ακριβή δομή των ελαχιστοποιητών του οριακού προβληματος, και ως εκτούτου, του ορίου των ελαχιστοποιητών
του ε− συναρτησοειδούς της ενέργειας καθώς το ε → 0. Αποδεικνύουμε επίσης ότι
ο ελαχιστοποιητής του οριακού προβλήματος στον δίσκο είναι μοναδικός.
Στη συνέχεια, στο τέταρτο μέρος που βρίσκεται στο Κεφάλαιο 5, μελετάμε πλήρως
μη γραμμικές ελλιπτικές (fully nonlinear elliptic) εξισώσεις μέσω της έννοιας των P−
συναρτήσεων. Τις P− συναρτήσεις μπορούμε να τις σκεφτόμαστε σαν ποσότητες
της λύσης μιας γενικής πλήρως μη γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης που
ικανοποιούν την αρχή μεγίστου. Πιθανώς το πιο γνωστό παράδειγμα είναι το εξής
P(u; x) = 1
2
|∇u|
2 − W(u) (1.14)
που σχετίζεται με την εξίσωση Allen-Cahn
∆u = W′
(u) , u : Ω ⊂ R
n → R (1.15)
και μια σημαντική εφαρμογή είναι η ανισότητα Modica
1
2
|∇u|
2 ≤ W(u) (1.16)
για κάθε φραγμένη λύση της (1.15). Υπάρχουν πολλές γενικεύσεις σε Quasi-linear
elliptic εξισώσεις μεταξύ άλλων με εφαρμογές όπως φράγματα στις παραγώγους και
Liouville τύπου αποτελέσματα, για τις οποίες παρέχουμε τις αντίστοιχες αναφορές με
λεπτομέρειες στο κεφάλαιο που αντιστοιχεί στο τέταρτο αυτό μέρος. Στη δουλειά μας
αυτή, η οποία μπορεί να βρεθεί στο [4], εισάγουμε την έννοια των P− συναρτήσεων
για πλήρως μη γραμμικές εξισώσεις και παρέχουμε ένα γενικό κριτήριο για να βρίσκει
κανείς τέτοιες ποσότητες για αυτή την κλάση των εξισώσεων. Μερικές εφαρμογές
είναι φράγματα στις παραγώγους, αποτελέσματα τύπου De Giorgi για ολικές λύσεις
και αποτελέσματα ακαμψίας (rigidity results). Επιπροσθέτως, αποδεικνύουμε Harnack
τύπου ανισότητες και τοπικά σημειακές εκτιμήσεις για τις παραγώγους των λύσεων
πλήρως μη γραμμικών ελλιπτικών εξισώσεων. Επιπλέον, θεωρούμε P− συναρτήσεις
για υψηλότερης τάξης μη γραμμικών εξισώσεων και για εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου
του δύο παίρνουμε Liouville τύπου θεωρήματα και σημειακές εκτιμήσεις για τη Λαπλασιανή.
Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, το τελευταίο μέρος της διατριβής μας περιλαμβάνει μια
εργασία με τον καθηγητή Χ. Μακριδάκη και τον Γ. Γκανή η οποία μπορεί να βρεθεί
στο [5], όπου μελετάμε εφαρμογές των Physics Informed Νευρωνικών Δικτύων στις μερικές διαφορικές εξισώσεις. Τα Physics Informed Νευρωνικά Δίκτυα είναι μια
αριθμητική μέθοδος που χρησιμοποιεί νευρωνικά δίκτυα για να προσεγγίσει λύσεις
μερικών διαφορικών εξισώσεων. ΄Εχει αρχίσει να λαμβάνει ολοένα και περισσότερη
προσοχή τα τελευταία χρόνια και χρησιμοποιείται για πολυάριθμα προβλήματα φυσικής
καθώς και μηχανικής. Η μαθηματική κατανόηση των μεθόδων αυτών είναι περιορισμένη,
και ειδικότερα, απ΄ ότι φαίνεται, μια συνεπής έννοια ευστάθειας λείπει. Για την
αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος θεωρούμε μοντέλα προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων, συγκεκριμένα γραμμικές ελλειπτικές και παραβολικές ΜΔΕ. Θεωρούμε
προβλήματα με διαφορετικές ιδιότητες ευστάθειας, και προβλήματα διακριτώς χρονικά
προσεγγίσιμα. Παρακινούμενοι από εργαλεία μη γραμμικού λογισμού μεταβολών
δείχνουμε με συστηματικό τρόπο ότι η coercivity των ενεργειών και η συσχετιζόμενη
συμπάγεια παρέχουν το κατάλληλο πλαίσιο για ευστάθεια. Για τις προσεγγίσεις
διακριτού χρόνου δείχνουμε ότι αν κάποια από αυτές τις ιδιότητες αποτυγχάνουν να
ισχύουν τότε οι μέθοδοι μπορούν να γίνουν ασταθείς. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιώντας
εργαλεία της Γ− σύγκλισης παρέχουμε νέα αποτελέσματα σύγκλισης για ασθενείς
λύσεις απαιτώντας μόνο το ότι οι χώροι των νευρωνικών δικτύων επιλέγονται ώστε
να έχουν τις κατάλληλες προσεγγιστικές ιδιότητες. Αυτές οι τεχνικές μπορούν να
επεκταθούν σε πολλά άλλα, πιθανώς μη γραμμικά, προβλήματα.
|
Συλλογές
