E-Locus - Ιδρυματικό Καταθετήριο Πανεπιστημίου Κρήτης

Αρχική Αναζήτηση

Αποτελέσματα - Λεπτομέρειες

Εντολή Αναζήτησης : Συγγραφέας="Vidaux" Και Συγγραφέας="Xavier"

Τρέχουσα Εγγραφή: 1 από 2

[Προσθήκη στο καλάθι]

Κωδικός Πόρου

000404561

Τίτλος

An analogue of Hilbert's tenth problem for the ring of exponential sums

Άλλος τίτλος

Ένα ανάλογο του 10ο προβλήματος του Χίλμπερτ για το δακτύλιο των εκθετικών αθροισμάτων

Συγγραφέας

Χομπιτάκη, Δήμητρα

Σύμβουλος διατριβής

Φειδάς, Αθανάσιος

Μέλος κριτικής επιτροπής

Kolountzakis, Mihalis
Vidaux, Xavier

Περίληψη

Το κεντρικό θέμα της διπλωματικής είναι το αν ο δακτύλιος των εκθετικών αθροισμάτων έχει αποφασίσιμη θετική υπαρξιακή θεωρία. Αυτό είναι ένα πρόβλημα ανάλογο του 10ou προβλήματος του Hilbert για το δακτύλιο των εκθετικών αθροισμάτων μίας μεταβλητής υπεράνω του σώματος των μιγαδικών αριθμών (παρακάτω θα δοθούν ακριβείς ορισμοί). Το πρόβλημα αυτό μπορεί να θεω¬ρηθεί ως ένα πρώτο βήμα για να δοθεί μία απάντηση στην ακόλουθη ερώτηση: Έστω H ο δακτύλιος των αναλυτικών συναρτήσεων πάνω στους μιγαδικούς της ανεξάρτητης μεταβλητής z και Lz η γλώσσα της αριθμητικής προσαυξημένη κατά ένα σταθερό - σύμβολο για τη z : Lz = {+, •, 0,1,z} Ερώτηση: Είναι η θετική υπαρξιακή θεωρία του H στην Lz αποφασίσιμη; Αυτό το πρόβλημα έχει ουσιαστική σημασία και είναι ακόμα ανοιχτό. Για περισσότερες λεπτομέρειες ο αναγνώστης μπορεί να διαβάσει τη σχετική βιβλι-ογραφία που αναφέρεται στο Introduction. Μέρος της διπλωματικής είναι επίσης η σύντομη παρουσίαση άλλων τριών προβλημάτων αποφασισιμότητας των οποίων τεχνικές και αποτελέσματα χρησι-μοποιήθηκαν στην απόδειξη του ανάλογου του 10ou Προβλήματος του Hilbert για το δακτύλιο των εκθετικών αθροισμάτων. Εισαγωγικά Το 10o Πρόβλημα του Hilbert Το 10ο Πρόβλημα του Hilbert (θα το συμβολίζουμε ΗΤΡ) ρωτάει αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που να απαντάει πάντα σωστά στην ερώτηση αν μία πολυων-υμική εξίσωση πολλών μεταβλητών με ακέραιους συντελεστές έχει ή δεν έχει ακέραιες λύσεις. Το πρόβλημα ανακοινώθηκε από τον ίδιο τον Hilbert το 1900. Ο Yuri Matjiasevich έδωσε αρνητική απάντηση στο πρόβλημα το 1970. Ο Matjiasevich για να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει τέτοιος αλγόρι¬θμος βασίστηκε στην ερευνητική δουλειά των Martin Davis , Hilary Putmnan και Julia Robinson. Έπειτα ήταν λογικό να αναρωτηθούν αν θα μπορούσε να υπάρξει ένας τέτοιος αλγόριθμος αν θεωρήσουμε έναν άλλον δακτύλιο πέρα από τους ακεραίους. Για παράδειγμα, είναι ήδη γνωστή η απάντηση για τους δακτυλίους των φυσικών, πραγματικών και μιγαδικών αριθμών όπως επίσης και για το σώμα των ρητών συναρτήσεων. Ωστόσο, το ανάλογο του ΗΤΡ για το σώμα των ρητών αριθμών είναι ανοιχτό και μάλιστα θεωρείται ως το κύριο ανοιχτό πρόβλημα της περιοχής. Στο κεφάλαιο Introduction παρουσιάζουμε κάποια ανάλογα του ΗΤΡ υπεράνω δακτυλίων των οποίων η δομή τους χρησι¬μοποιείται συχνά στα μαθηματικά. Διοφαντικό Πρόβλημα - Θετική Υπαρξιακή Θεωρία - Ορισμοί Θεωρία μίας δομής: είναι το σύνολο των προτάσεων που είναι αληθείς στη δομή. (Θετική) υπαρξιακή θεωρία μίας δομής: είναι το σύνολο των (θετικών) υπαρξιακών προτάσεων που είναι αληθείς στη δομή. Γλώσσα L: είναι μία ακολουθία συμβόλων η οποία εν γένει περιλαμβάνει τα σύμβολα + (για την πρόσθεση) , • (για τον πολλαπλασιασμό) , 0 (για το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στον R) και 1 (για το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού στον R). Επίσης, στην L μπορεί να περιλαμβάνονται σύμ¬βολα για ειδικά στοιχεία του δακτυλίου R. Λέμε ότι το Διοφαντικό πρόβλημα για το δακτύλιο R με συντελεστές στον R' είναι μη επιλύσιμο αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που να αποφασίζει αν μία πολυωνυμική εξίσωση πολλών μεταβλητών με συντελεστές στον R' έχει λύση στον R. Η Εξίσωση του Pell Η διοφαντική εξίσωση x2 - dy2 = 1 (0.0.1) όπου d είναι θετικός ακέραιος ελεύθερος τετραγώνου, είναι γνωστή ως η εξίσωση του Pell. Οι J.Robinson, M.Davis και ο Y.Matjiasevich χρησιμοποίησαν εξισώσεις της παραπάνω μορφής και εισήγαγαν νέους μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων της περιοχής. Μία σημαντική και ιδιαίτερα χρήσιμη παρατήρηση για τις λύσεις της εξίσωσης του Pell είναι η ακόλουθη: Παρατήρηση: Έστω (αι,&ι) και (α2,b2) λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Τότε το ζευγάρι (ai,bi) Θ (a2,b2) = (αια2 + db1b2,a1b2 + a2bi) είναι επίσης λύση της εξίσωσης.

Φυσική περιγραφή

32 σ. ; : ; 30 εκ.

Γλώσσα

Αγγλικά, Ελληνικά

Θέμα

Diophantine problem

Pell's equation

Positive existential theory

Διοφαντικό πρόβλημα

Εκθετικά αθροίσματα

Εξίσωση του Πελλ

Θετική υπαρξιακή θεωρία