| Περίληψη |
Το θέμα αυτής της εργασίας είναι η κατασκευή δυναμικών συστημάτων στην 3-σφαίρα, χωρίς περιοδικές τροχιές και χωρίς σταθερά σημεία. Όπως είναι γνωστό, σε άλλες συμπαγείς 3-πολλαπλότητες χωρίς σύνορο, όπως για παράδειγμα στον 3-torus T^3, υπάρχουν τέτοια δυναμικά συστήματα. To 1950 o H. Seifert απέδειξε ότι κάθε C^1 διανυσματικό πεδίο στην S^3 , του οποίου τα διανύσματα σχηματίζουν αρκετά μικρές γωνίες με το διανυσματικό πεδίο που εφάπτεται της Hopf fibration, έχει τουλάχιστον μία περιοδική τροχιά. Ταυτόχρονα διατύπωσε το ερώτημα, αν κάθε διανυσματικό πεδίο στην S^3 χωρίς σταθερά σημεία, έχει τουλάχιστον μία περιοδική τροχιά. Από τότε έγιναν προσπάθειες απόδειξης της εικασίας, για ειδικές κλάσεις διανυσματικών πεδίων, αλλά και αρνητικής απάντησής της. Το πρώτο αντιπαράδειγμα δόθηκε από τον P. Schweitzer [Sch] το 1974, που ήταν όμως μόνο C^1 και δεν μπορεί να γίνει περισσότερο λείο. Το 1988 δόθηκε C^2 αντιπαράδειγμα από την J. Harrison. Το C^00 αντιπαράδειγμα δόθηκε το 1994 από την K. Kuperberg [KuK]. Η κατασκευή του αντιπαραδείγματος αυτού στηρίζεται στην ιδέα του Schweitzer και χρησιμοποιεί τη μέθοδο των plugs. Στο αντιπαράδειγμα του P. Schweitzer, ξεκινάμε με ένα μη-μηδενιζόμενο C^00 διανυσματικό πεδίο X_1 στην S^3 με μία μόνο περιοδική τροχιά. Στόχος είναι να ((σπάσουμε)) αυτήν την τροχιά, χωρίς όμως να δημιουργηθούν καινούργιες περιοδικές τροχιές. Θεωρούμε μία αμφιδιαφόριση Denjoy στον κύκλο. Πρόκειται για μία C^1 αμφιδιαφόριση f: S^1\to S^1 που διατηρεί τον προσανατολισμό και έχει ένα μη-τετριμμένο ελάχιστο σύνολο L, ομοιομορφικό με το σύνολο του Cantor. Με τη μέθοδο της ανάρτησης κατασκευάζεται ένα C^1 διανυσματικό πεδίο στον mapping torus της f. Καθώς αυτός είναι C^1 αμφιδιαφορίσιμος με τον torus T^2, παίρνουμε ένα C^1 διανυσματικό πεδίο V στον T^2 . Το V έχει ένα μη-τετριμμένο ελάχιστο σύνολο M και καμία σταθερή, περιοδική ή πυκνή τροχιά στον T^2. Η κατασκευή αυτή παρουσιάζεται αναλυτικά στο κεφάλαιο ΙΙ. Στο κεφάλαιο ΙΙΙ, αφού παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας των plugs, περιγράφουμε λεπτομερώς το αντιπαράδειγμα του Schweitzer. Ορίζουμε στην 3-πολλαπλότητα T^2 [-1,1] ένα C^1 διανυσματικό πεδίο E, το οποίο έχει μοναδικό ελάχιστο σύνολο το M X {0} και κατασκευάζουμε μία plug Φ που έχει βάση τον T^2 \{εσωτερικό ενός δίσκου} και δεν έχει περιοδικές τροχιές. Εισάγουμε τότε την Φ σε ένα flow box γύρω από ένα σημείο της περιοδικής τροχιάς του X_1, που αντιστοιχεί σε σημείο του συνόλου M [-1,1]. Ετσι παίρνουμε ένα C^1 διανυσματικό πεδίο S στην S^3, χωρίς περιοδικές τροχιές και χωρίς σταθερά σημεία. Το S δεν επιδέχεται βελτίωση στο βαθμό διαφορισιμότητάς του, διότι η κατασκευή του στηρίζεται στην αμφιδιαφόριση Denjoy, που είναι μόνον C^1, αφού δεν υπάρχουν C^2 αμφιδιαφορίσεις Denjoy. Η K. Kuperberg ξεκινά με το X_1 στην S^3 και με μία plug W,((τύπου)) Wilson. Η W, η οποία έχει φορέα τον στερεό torus W={ (r, θ,z) :r, b in [-1,1], θ in R/10Z, έχει ακριβώς δύο περιοδικές τροχιές T_1 ,T_2 σταθερής ακτίνας r=0, στα επίπεδα z=-{1\2} και z=+{1\2}. Κάνοντας εισαγωγή της W στην περιοδική τροχιά L του X_1, δημιουργείται ένα νέο πεδίο στην S^3 όπου η L έχει καταστραφεί, αλλά έχουν δημιουργηθεί δύο καινούριες περιοδικές τροχιές, οι T_1, T_2. Η ιδέα της Kuperberg ήταν, πριν κάνει εισαγωγή της W στην S^3, να κάνει πρώτα εισαγωγή της W στον εαυτό της, ώστε να σπάσει τις περιοδικές της τροχιές. Έτσι δημιουργείται μία καινούρια plug K, χωρίς περιοδικές τροχιές, η οποία εισάγεται πλέον σε ένα flow box γύρω από ένα σημείο της τροχιάς L του X_1, που αντιστοιχεί σε σημείο της μορφής (0,θ,-1). Το αποτέλεσμα είναι ένα C^00 διανυσματικό πεδίο στην S^3, χωρίς σταθερά σημεία και χωρίς περιοδικές τροχιές.
|
Δυναμικά Συστήματα χωρίς Περιοδικές Τροχιές. Αντιπαραδείγαμτα στην Εικασία του Seifert
