| Περίληψη |
Έστω $(X,{\mathcal A},\mu )$ χώρος πιθανότητας, όπου ${\mathcal A}$ είναι η \tl{Borel} $\sigma $-άλγεβρα ως προς δεδομένη μετρική $d$ στον $X$. Λέμε ότι η τετράδα $(X,{\mathcal A},\mu ,d)$ είναι ένας μετρικός χώρος πιθανότητας. Σε κάθε μετρικό χώρο πιθανότητας μπορούμε να διατυπώσουμε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα: Για δοσμένα $0<\alpha <1$ και $t>0$, να βρεθεί το $$\inf\{\mu (A_t):A\in {\mathcal A},\mu (A)=\alpha\}$$ και να βρεθούν τα σύνολα $A$ για τα οποία πιάνεται αυτό το \tl{infimum}. Στο παραπάνω ερώτημα, με $A_t$ συμβολίζουμε την $t$-περιοχή του $A$: $$A_t=\{ x\in X:d(x,A)\leq t\}.$$ Στο πρώτο Κεφάλαιο αυτής της εργασίας συζητάμε μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις ισοπεριμετρικών προβλημάτων για τα οποία η ακριβής απάντηση είναι γνωστή. Για πολλά άλλα ισοπεριμετρικά προβλήματα που έχουν σημαντικές εφαρμογές, κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό. Μία ασθενέστερη απάντηση όμως είναι εξίσου χρήσιμη: αντί να βρούμε την ακριβή τιμή του \tl{infimum} είναι αρκετό να γνωρίζουμε ένα καλό κάτω φράγμα για το $\mu (A_t)$ με την υπόθεση ότι $\mu (A)=\alpha $. Θα λέμε ότι ένα τέτοιο φράγμα λύνει το συγκεκριμένο ισοπεριμετρικό πρόβλημα ((κατά προσέγγιση)) αν η εκτίμηση που δίνει είναι βέλτιστη με την εξαίρεση κάποιων απόλυτων σταθερών στις ((κατάλληλες θέσεις)). Οι ανισότητες που επιτυγχάνουν τέτοιες κατά προσέγγιση λύσεις λέγονται προσεγγιστικές ισοπεριμετρικές ανισότητες. Στην εργασία αυτή αναπτύσσονται διάφορες μέθοδοι για την απόδειξη προσεγγιστικών ισοπεριμετρικών ανισοτήτων για γινόμενα γενικών μετρικών χώρων πιθανότητας. Τα εργαλεία είναι γεωμετρικά, συνδυαστικά και πιθανοθεωρητικά. Περιγράφονται οι εξής τεχνικές: Η τεχνική της επαγωγής του \tl{Talagrand} για τελείως γενικά μέτρα γινόμενα. Ορίζονται διάφορες έννοιες απόστασης ως προς την οποία θεωρείται η επέκταση ενός συνόλου. 2. Η τεχνική των \tl{martingales}. Παράδειγμα εφαρμογής, η συγκέντωση του μέτρου στο χώρο των μεταθέσεων. 3. Η ιδιότητα $(\tau )$ (η τεχνική της ελαχιστικής συνέλιξης - \tl{Maurey}). 4. Η λογαριθμική ανισότητα \tl{Sobolev} και η συγκέντρωση του μέτρου στο χώρο του Gauss.
|
Συγκέντρωση του μέτρου σε χώρους γινόμενα
